人教版八年级上册数学知识点梳理与复习从一道题展开的联想教案

由一道题展开的联想

人教版教材（下简称教材）的问题编写有一个特点，就是讲解例题与课后练习题，单元习题，拓广探索题互相对应，互相补充，内容联系到初中数学各年级教学..只要比较不难发现其自成一体．在使用过程，笔者根据对一道题的长期跟踪教学，认识到引导学生在不同章节中观察问题，从结合新的知识点的学习中提问题，在新的知识水平范围内探讨问题，对学习兴趣的培养，创新意识的渗透大有帮助．

原问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，

点D在AC上，且BD＝BC＝AD,

求△ABC各角的度数．（教材第一版八年级上册P142例1）

变式1  如图2，在下列等腰三角形中，图1中∠A=360，

分别求出它们的底角的度数．

变式2  如图3，△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=900),

AD是底边BC上的高,标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数．

图中有哪些相等的线段？（教材第一版八年级上册P143练习）

完成以上练习后可以这样提醒同学们：观察到什么现象啦？若没有人发觉，可以进一步提醒：跟课本例1比较一下罢..归纳、概括后可以提出一般性的问题吗？

有人说：“过等要三角形的顶点画一条直线，可以将三角形分成两个等腰三角形”..有人补充说：“过等腰三角形的任一个顶点画一条直线，可以将三角形分成两个等腰三角形”..又有人说：“满足结论的等腰三角形各个角度有限制，应该是有限个并且是可求的”等..在此基础上，师生共同探讨，形成一道比较完整的题目：

（2001年广东初中数学竞赛题）如图4，在△ABC中，AB=AC，若过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，问△ABC的各内角的度数可能是多少？

通过师生共同探讨得到四种答案：（90°，45°，45°）、（108°，36°36°）、（36°，72°，72°）、（（25）°，（77）°，（77）°）

解答如下：⑴如图5，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过A作AD⊥BC，垂足为D，则△ABD和△ADC均为等腰三角形..此时△ABC各内角的度数分别为90°，45°，45°

⑵如图6，AB=AC，∠BAC＞90°，过A作AD与BC相交于点D，要使△ABD与△ADC均为等腰三角形，只有AD=BD，AC=CD..这时，令∠BAC=x，则∠B=∠C=90°－x.. 由∠CAD=∠ADC=〔180°－（90°－x）〕=45°＋x，且∠BAD=x－（45°＋x）=x－45°，由∠B=∠BAD有90°－x=x－45°，得x=108°..对应△ABC各内角的度数为108°，36°，36°

⑶如图7，AB=AC，∠BAC＜90°..过B作BD交AC于点D；

要使△ABD和△BCD为等腰三角形，可分两种情形考虑：

（ⅰ）AD=BD、BC=BD..令∠A=x，易求∠A=36°，

对应△ABC各内角的度数为36°，72°，72°

（ⅱ）如图8，AD=BD、BC=CD..令∠A=x，则∠ABD=x，

∠BDC=∠CBD=2x，且∠C=∠ABC=3x..有7x=180°，∴x=（25）°..

对应△ABC各内角的度数为（25）°，（77）°，（77）°

以上问题是在观察的基础上，提出问题，师生交流探讨得到解答的..看似简单而单一的问题，经过分析发现原题是一类题的特例..同学们再看看，是否还可以提出其它有独到见解的问题？随着今后学习内容的增加，可供思考挖掘的题材不断丰富..

学习了“四边形”后，有人由四边形内角和等于360°，而108°、108°、72°、72°之和刚好等于360°，联想到构造一个等腰梯形，要求梯形连同它的对角线形成尽可能多的等腰三角形..以下是师生探讨的结果：

（图9、10、11中各有4个等腰三角形）

（图12中当ɑ=（25）°时有6个等腰三角形；图13中当∠OBC=36°时有8个等腰三角形））..