高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步达标检测题

6.3.2 二项式系数的性质

一、选择题

1．（2021·浙江丽水高级中学高二月考）在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【详解】由已知得，可知，故选：A.

2．（2020·全国高二专题练）已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（    ）

A．4           B．5                    C．6             D．7

【答案】C

【详解】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，

所以，.故选：C.

3．（2021·黑龙江大庆市铁人中学高二月考）已知，的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中的系数是（    ）

A．7 B． C．21 D．

【答案】C

【详解】由题意，二项式的展开式中二项式系数的和为128，可得，解得，所以二项式，则展开式的通项为，

当时，可得，所以展开式中的系数是.故选：C.

4．（2021·山东泰安一中高二月考）已知的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（    ）

A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

【答案】D

【详解】展开式的通项.令，解得，所以展开式中的常数项为，又，所以，所以即，其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故选：D

5．（多选题）（2021·全国高二单元测）对于展开式的二项式系数下列结论正确的是（　　）

A． B．

C．当为偶数时， D．

【答案】ABC

【详解】对于A，由组合数的运算直接可得，故A正确；对于B，由杨辉三角直接可得，故B正确；对于C，二项式展开式中，令，不论为奇数还是偶数，都可得，故C正确；对于D，由选项C可知，故D错误.故选：ABC

6．（多选题）（2021·湖北宜昌市高二月考）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ）

A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为

C．存在常数项 D．的系数为12

【答案】ABC

【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确；对于B，二项式系数之和为，故B正确；对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，即常数项为第四项，故C正确；对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误.故选：ABC.

二、填空题

7．（2021·山东济宁市高二月考）已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是______．

【答案】84

【详解】依题意，，解得n=7，的展开式的通项为，由得，所以所求展开式中项的系数是.

8．（2021·重庆市第十一中学校高二月考）的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则展开式的常数项为______.

【答案】10

【详解】因为的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，

所以，解得，展开式的通项公式为，令 ，解得，

所以展开式的常数项为.

9．（2021·广东江门市高二月考）已知展开式中，所有项的二项式系数之和为，则______________．（用数字作答）

【答案】

【详解】由已知条件可知二项式系数和为，可得，

令，则.

10．（2021·浙江宁波市镇海中学高二月考）若二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则________；二项式系数最大的项的系数是________．

【答案】7； 40或80   

【详解】因为二项式展开式的二项式系数之和为32，所以 ，

展开式的通项为 ，

令 ，得 ，故常数项为 ，

则 .二项式系数最大的项的系数为 或.

三、解答题

11．（2021·湖北黄石二中高二月考）4在二项式的展开式中，________．给出下列条件：

①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；

②所有奇数项的二项式系数的和为256；

③若展开式中第7项为常数项．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式的常数项．

（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分）

【答案】答案见解析

【详解】解：选择①：，即，

即，即，解得或（舍去）

选择②：，即，解得．

选择③：，则有，所以．

因为展开式中第7项为常数项，即，所以．

（1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，

，

．

（2）展开式通项为：，

令，∴，

∴展开式中常数项为第7项，常数项为．

12．（2020·全国高二专题练）已知，求：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【详解】令则①，

令则②，

令则③，

（1）②-①得：，

（2）(②-③)得：，

（3）(②+③)得：，

(4)．