江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第七节基本不等式及应用练习含解析

这是一份江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第七节基本不等式及应用练习含解析，共13页。试卷主要包含了探索并了解基本不等式的证明过程，利用基本不等式求最值，当且仅当a=b=12时,取等号等内容，欢迎下载使用。
第七节　基本不等式及应用
学习要求:
1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.


　　1.基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:①a>0,b>0. 
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.
▶提醒　在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为② a+b2,几何平均数为③ ab,基本不等式可叙述为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,
(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是④2p(简记为积定和最小). 
(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是⑤ q24(简记为和定积最大). 
知识拓展
　　1.基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤a+b22(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).
(2)a+b≥2ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
2.几个重要的结论
(1)a2+b22≥a+b22(a,b∈R).
(2)ba+ab≥2(ab>0).
(3)ab≤a+b2≤a2+b22(a>0,b>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的. (　　)
(2)函数y=x+1x的最小值是2. (　　)
(3)函数f(x)=sinx+4sinx的最小值为4. (　　)
(4)“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件. (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕
2.(新教材人教B版必修第一册P73例1改编)若x1,则函数y=8x+12x-1的最大值为 (　　)
A.-4　　　　B.8
C.4　　　　D.0
答案　D
4.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为　　　　. 
答案　14

利用基本不等式求最值
角度一　利用配凑法求最值
典例1　(2020四川乐山一中月考)设00,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　. 
答案　6
解析　解法一:(换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,
因为x>0,y>0,
所以x+3y≥23xy,
所以3xy≤x+3y22,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+13x+3y22≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
解得t≥6,即x+3y的最小值为6.
解法二:(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=9-3y1+y,
所以x+3y=9-3y1+y+3y=9-3y+3y(1+y)1+y
=9+3y21+y=3(1+y)2-6(1+y)+121+y
=3(1+y)+121+y-6≥23(1+y)·121+y-6=12-6=6.
当且仅当3(1+y)=121+y,即x=3,y=1时等号成立.所以x+3y的最小值为6.
名师点评
1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求ax+by的最值”的问题,先将ax+by转化为ax+by·x+yt,再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.



1.(2020湖北孝感应城第一高级中学模拟)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3　　　　B.4C.92　　　　D.112
答案　B　由题意得x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y22,当且仅当x=2y=2时等号成立.∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)·(x+2y+8)≥0,∵x>0,y>0,∴x+2y>0,
∴x+2y≥4.
2.(2020四川遂宁模拟)当x>1时,x+4x-1的最小值为　　　　. 
答案　5
解析　∵x>1,∴x-1>0,由基本不等式得x+4x-1=(x-1)+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5.
当且仅当x=3时,等号成立.因此,x+4x-1的最小值为5.
3.(2020吉林长春农安实验中学模拟)已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
答案　(-4,2)
解析　由题意可知x+2y=(x+2y)·2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,当且仅当x=2y=4时等号成立,要使x+2y>m2+2m恒成立,
则m2+2m1,y>1,且14lnx,14,lny成等比数列,则xy有 (　　)
A.最大值e　　　　B.最大值e
C.最小值e　　　　D.最小值e
答案　C
3.(2020吉林梅河口第五中学模拟)已知函数f(x)=lgx,00)对称,则2a+1b的最小值为(　　)
A.4　　　　B.42　　　　C.9　　　　D.92
答案　C
5.(多选题)下列四个函数中,最小值为2的是 (　　)
A.y=sinx+1sinx00,x≠1)
C.y=x2+6x2+5
D.y=4x+4-x
答案　AD　对于A,因为00,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=12a·2b≤12·a+2b22=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,
∴ab的最大值为2.
∵1a+2b=1a+2b·a+2b4
=145+2ba+2ab
≥14·5+22ba·2ab=94,当且仅当a=b=43时等号成立,∴1a+2b的最小值为94.
9.(1)当x0,所以0