新课标2022版高考数学总复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理

这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理，共39页。

学习要求:1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性(1)单调函数的定义:
(2)单调区间的定义:若函数f(x)在区间D上是⑤　单调增函数或单调减函数    ,则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.▶提醒    (1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念, 显然N⊆M.
1.单调性定义的等价形式设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或  >0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数.(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或  <0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.
2.复合函数的单调性函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相 同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调 递减.
3.函数单调性的常用结论(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)与y=-f(x),y= 在公共定义域内的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)与y= 在公共定义域内的单调性相同.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (　　)(2)函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为[a,b]. (    　)(3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)·g(x)也是增函数. (　　)(4)所有的单调函数都有最值. (　　)(5)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函数. (　　)
2.(新教材人教A版必修第一册P79例3改编)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调 递减的是 (　　)A.y= -x　　　    B.y=x2-x　　　    C.y=ln x-x　　　    D.y=ex-x
解析    选项A,y1= 在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y= -x在(0,+∞)内是减函数;选项B,C中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D,y'=ex- 1,当x∈(0,+∞)时,y'>0,所以函数y=ex-x在(0,+∞)上是增函数.
3.(新教材人教A版必修第一册P86 T7改编)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区 间是 (　　)A.(-∞,-2)　　　    B.(-∞,1)C.(1,+∞)　　　    D.(4,+∞)
解析    由x2-2x-8>0得x>4或x<-2,当x∈(-∞,-2)∪(4,+∞)时,令u=x2-2x-8,则u=x2-2x-8在x∈(-∞,-2)上单调递减,在x∈(4,+∞)上单调递增.又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增,所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D.
4.函数f(x)= - 的值域为　　　    .
解析　因为 所以-2≤x≤4,所以函数f(x)的定义域为[-2,4].又y1= ,y2=- 在区间[-2,4]上均为减函数,所以f(x)= - 在[-2,4]上为减函数,所以f(4)≤f(x)≤f(-2).即- ≤f(x)≤  .
5.设函数f(x)= g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　    .
解析　由题意知g(x)= 函数g(x)的图象如图所示: 故递减区间是[0,1).
  典例1　(1)(2020课标全国Ⅱ,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (　　)A.是偶函数,且在 单调递增B.是奇函数,且在 单调递减C.是偶函数,且在 单调递增D.是奇函数,且在 单调递减
考点一　确定函数的单调性(区间)
(2)判断函数f(x)=x+ (a>0)在(0,+∞)上的单调性.    
解析　(1) ⇒x∈ ,∴函数f(x)的定义域关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C; 当x∈ 时, f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f '(x)= - = >0,∴f(x)在 上单调递增,排除B;当x∈ 时, f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f '(x)= - = <0,∴f(x)在 上单调递减,∴D正确.
(2)设x1,x2是任意两个正数,且x10,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0, ]上是减函数;当 ≤x1a,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0)在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数.
名师点评1.求函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性:转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,那么可由图象 的直观性写出函数的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
2.求复合函数y=f(g(x))单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调区间.
1.函数f(x)= 在 (　　)A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数
2.求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.
解析　易知f(x)= ⇒f(x)= 画出函数f(x)的图象如图所示:由图可知f(x)的单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为(-1,0)和(1,+∞).
角度一　比较函数值的大小典例2　已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)< 0恒成立,设a=f  ,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为 (　　)A.c>a>b　　　    B.c>b>aC.a>c>b　　　    D.b>a>c
考点二　函数单调性的应用
解析　∵f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f =f .由当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.∵1<2< f >f(e),即f(2)>f >f(e),∴b>a>c.
角度二　解不等式典例3　已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围是 　　　　　　　　    .
(-∞,-1)∪(3,+∞)
解析　∵函数f(x)为R上的增函数,且f(a2-a)>f(a+3),∴a2-a>a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,即a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
角度三　求参数的值或取值范围典例4　(1)已知函数f(x)= 满足对任意的实数x1≠x2都有  <0恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,1)　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. (2)已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6)上单调递减,则a的取值范围是 (    　)A.[3,+∞)　　　    B.(-∞,3]C.(-∞,-3)　　　    D.(-∞,-3]
解析　(1)由题意知函数f(x)在定义域R上为减函数,则 解得 ≤a< .故选C.(2)由于二次函数f(x)=x2+4ax+2的二次项系数为正数,其图象的对称轴为直线x =-2a,且其对称轴左侧的图象是下降的,∴-2a≥6,故a≤-3.故选D.
规律总结函数单调性的应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小:比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后 利用函数的单调性解题.(2)解不等式:在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性 将“f ”脱掉,使其转化为求解具体的不等式.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确 定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.▶提醒　(1)若函数在[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
1.设函数f(x)= 若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是 (　　)A.(-∞,1]　　　    B.(-∞,2]C.[2,6]　　　    D.[2,+∞)
解析    易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数,因为f(a+1)≥f(2a-1), 所以a+1≥2a-1,解得a≤2.故实数a的取值范围是(-∞,2].
2.已知函数f(x)= (a≠1).若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是　　 　    .
(-∞,0)∪(1,3]
解析　当a-1>0,即a>1时,由题意知10,即a<0.故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].
3.已知函数f(x)=x|2x-a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减,则实数a的值是　　　    .
解析    f(x)=x|2x-a|=|2x2-ax|(a>0),由f(x)的图象(图略)得该函数的单调减区间是 (-∞,0), ,所以 解得a=8.
4.若定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2), 则实数a的取值范围为　　　    .
解析　因为函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,所以函数f(x)在[-2,2]上单 调递增,所以 解得 所以0≤a<1.
典例5　(1)函数f(x)= 的最大值为　 2     .(2)函数y=2x-1- 的值域为　　　    .(3)当-3≤x≤-1时,函数y= 的最小值为　　    .(4)函数y=2x+ 的值域为　　　　    .
考点三　求函数的最值(值域)
解析　(1)当x≥1时,函数f(x)= 为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大 值为2.(2)易知函数的定义域是 ,易证得函数y=2x-1- 在其定义域上是一个单调增函数,所以当x= 时,函数取得最大值 ,故原函数的值域是 .(3)由y= ,可得y= - .
∵-3≤x≤-1,∴ ≤- ≤ ,∴ ≤y≤3,∴所求函数的最小值为 .(4)令t= (t≥0),则x= ,∴y=-t2+t+1=- + .∴当t= ,即x= 时,y取得最大值,ymax= ,且y无最小值,∴函数的值域为 .
方法技巧求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后 用基本不等式求最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值求最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方 法求最值.
1.函数y= 的值域为　　　　 　　    .
{y|y∈R且y≠3}
解析    y= = =3+ ,因为 ≠0,所以3+ ≠3,所以函数y= 的值域为{y|y∈R且y≠3}.
2.已知函数f(x)的值域为 ,则函数g(x)=f(x)+ 的值域为　　 　    .
解析　∵ ≤f(x)≤ ,∴ ≤ ≤ .令t= , ≤t≤ ,则f(x)= (1-t2) ,令y=g(x),则y= (1-t2)+t,即y=- (t-1)2+1 .∴当t= 时,y有最小值 ;
当t= 时,y有最大值 .∴g(x)的值域为 .