初中第14章 勾股定理综合与测试教学设计

第14章《勾股定理复习课》教学设计

1.课标要求：

运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，并能进一步掌握勾股定理的应用，解决立体图形中最短路程问题，逐步体会勾股定理的数学和文化价值。

2.内容分析：

知识层面：在七年级上册的§4.3《立体图形的表面展开图》学生已对立体图形的平面展开图形有了一定的了解，并且也已经懂得画出一些简单的立体图形的展开图，本课正是在这个基础上加以勾股定理及其逆定理的应用，使学生通过所学知识学以致用，有利于学生思维的发展，此外，也更具应用性，符合“数学来源于生活，又服务于生活”的理念，本课勾股定理的应用的探究，即展开图中最短路线的求法，也为今后高中的立体几何奠定了坚实的基础，有着承上启下的作用。勾股定理是代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一，同时勾股定理在数学史上具有非同一般的意义。

能力层面：勾股定理在立体图形的应用在探索最短路线的推导过程中蕴含着一般到特殊的数学思想；是个渐进的学习过程。能很好地训练学生的空间想象能力，而在运用定理进行计算的过程中，能有效地提高学生的逻辑推理能力，对发展学生的逻辑思维有很好的帮助。

思想层面：在学生动手操作中，则让学生感受了几何直观、发展了几何直觉；在运用定理进行几何证明和计算过程中，则是渗透了数形结合思想。数学来源于生活，数学服务于生活，从生活实际中得出数学知识，再回到实际生活中加以运用是本节课的一个教学亮点。课堂以蚂蚁吃糖为开头，是学生比较感兴趣的问题，以此引入，深入勾股定理的应用，使数学教学在生活情境中得以创新。

二、学情分析：

学生在初一（上）的《立体图形的表面展开图》对圆柱的平面的展开图已经有了感性直观的认识，因此，在本节内容教学过程中，在弄清圆柱展开图后，利用勾股定理进一步计算最短路程，从而顺利突破勾股定理的实际应用这一教学难点。

三、教学目标

1、知识技能：能运用勾股定理解决立体图形中最短路程问题。

2、数学能力：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

3、数学思想：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学生学习数学的兴趣。

四、重点、难点

重点：勾股定理的应用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

难点的突破方法：

数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．

五、教学策略

1.通过培养学生动手操作、合作交流和观察、合情推理能力，体会数形结合的思想方法，有趣的生活实例，能激发学习热情。

2.借助例题的变式训练，发展和提升学生的逻辑思维能力，以及运用知识解决实际问题的能力。

3.通过自主探究与合作交流的学习方式，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣．同时，让学生在探索立体展开图形中体会成功的喜悦．体现了“教师角色向利于学生主动、自主、探究学习方向转变，让学生实现地位、尊严、个性、兴趣解放，促成师生之间民主和谐、平等合作关系”新课改精神。

六、教具准备

学生准备：科作业纸1张,长方体一个；

教师准备：科作业纸1张，高矮两个圆柱，长方体一个，多媒体课件。

七、教学过程

(一)创设情境，导入新课                          

1.勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有           c=,   a=,    b=

2.实际问题：如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路,却踩伤了（假设1米为2步）

【设计意图】通过对勾定理的复习让学生对勾股定理进行再巩固，以及实际问题的引入为探索最短路线的研究做铺垫，也达到在课堂上无形中教育学生文明举止的作用，让我们一起来做个文明的中学生。

(二)讨论交流

1.教师活动：立体图形中最短路径问题，屏幕呈现问题，例题再现：

书本P120页 例1.如图14-2-1所示，一个圆柱体的底面周长为20厘米，高AB等于4厘米，BC是上底面的直径，一只蚂蚁 从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.（精确到0.01cm）  

图14-2-1          图14-2-2

【设计意图】结合实际生活设置问题情境，让学生动手将作业纸长方形卷成圆柱，引导学生展开圆柱侧面并准确表示出A,C两点在侧面展开的位置，从而构造直角三角形利用勾股定理计算AC的长度。

2.拓展提优：

请阅读下列材料：

拓展1：（例题改造“侧面”—“表面”）如图（1），一圆柱的底面半径为5，BC是底面直径，圆柱高AB为5，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。小明设计了两条路线：

路线1：侧面展开图中的线段AC.如图（2）所示.

设路线1的长度为L1 ,则L12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2.

路线2：高线AB+底面直径BC.如图(1)所示.

设路线2的长度为L2,则L22=(AB+BC)2=（5+10）2=225

∵  L12－L22=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)＞0

∴  L12＞L22.  ∴  L1＞L2        所以选择路线L2较短.

【设计意图】在课本例题的基础上，把圆柱“侧面”寻最短路径拓展到了圆柱“表面”，本环节的探究，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法．活动中还需要比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．让学生在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念。

拓展2：小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1，高AB为10”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：（学生回答）

路线1：L12=AC2=                 .

路线2：L22=（AB+BC）2=               .

∵  L12        L22， ∴  L1     L2 (填“＜”或者 “＞”)

所以选择路线         (填L1或L2)较短.

【设计意图】在拓展1的基础上，只改变半径r的值，通过拓展1、2的比较，让学生明白，若是沿圆柱“表面”爬行，则最短路程与底面半径，高的取值有关，需展开分类讨论，比较长短才能得到答案。让学生猜想验证结果，进一步提高学生的求知欲，提高学生的学习兴趣。

拓展3：请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r和高为h满足什么条件时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.（分组讨论，看哪组最快得到答案）

解法如下：

L12=(AB+BC)2 =(h+2r)2

 L22=AC2=AB2+BC2 =h2+(πr)2

 L12 －L22 = h2+(πr)2 －(h+2r)2=r(π2r－4r－4h)=r[(π2－4)r－4h]

∵L1＞0, L2＞0     ∴L1和L2的大小，与L12 和L22的大小关系一样     

∵r＞0, π2－4＞0

∴当r=时，L12 = L22   ， L1 =  L2  ，选择路线L1,L2都一样；

 当r>时，L12 > L22   ，  L1 ＞  L2 ，选择路线L2较短；

 当r<时，L12 < L22    ， L1 ＜  L2 ，选择路线L1较短。

【设计意图】鼓励学生质疑问题，探究思考，启发学生发现问题和提出问题，善于独立思考，使数学学习成为再发现再创造的过程。在拓展1、2的基础上，适当地总结提升，有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高，学生的综合应用能力又得到了进一步的提升。让学生分组讨论，看哪组算得较快，激发了他们的积极性，从而使整个课堂充满生机。

3.变式练习（分层练习）：

A组（基础练习）：（2014•山东枣庄，第18题4分）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为         cm．

B组（提高练习）：如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程是多少？         

（A组题）                          （B组题）

【设计意图】活动3的延续，运算技能加逻辑思维，及时巩固新知识，检验所学，发现存在的问题并及时予以反馈，为改进教学提供参考；而设计梯度不同的练习供学生自己选择，体现了“让不同学习水平和不同层次的学生都能得到一定程度的发展”的分层教学理念。B组的练习让学生分组讨论计算最短路线，激发学生的学习热情，把课堂再一次推向高潮，使整节课更加生机勃勃。

（三）归纳总结：

本节课主要学习了勾股定理的应用——立体图形中最短路径问题，其一般解题思路如下

1、（转化思想的应用）展：  立体图形 →平面图形

2、找：最短路线    起点→ 终点     依据是平面内两点之间线段最短

3、算：构造出直角三角形，从而利用勾股定理进行计算     

即：异面两点求最短，立体化归程平面， 展开分类罗列全，比较长短答案现。

【设计意图】帮助学生系统地梳理知识要点，建构较完整的知识体系，凸显本节课的重难点。

八、成效评价

对本节例题的改造，在我们的教学过程中，如果在备课时能有意识的去分析和研究，一题多变，层层深入，及时总结，那必能起到以一当十、以少胜多、事半功倍的效果，既可以培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需搞题海战术了，又可以培养学生在探究中发现，在探究中创造，学会数学地思考。从学生自主归纳本节知识要点可以说明：经过自主探究和讨论交流，绝大多数学生弄清了最短路线与展开立体图形的一些数据有关。在“例题改造”环节，各小组成员均积极参与了组内交流和组间对话，整个课堂充满自主性、活动性、开放性等特点。学生们在教师的引导和帮助下，充分发挥主观能动性，促进教学目标的有效达成，较好地贯彻了“数学教学主要是数学活动的教学”这一课堂教学理念。在“分层练习”环节，通过抽查学生的练习发现，绝大部分学生都能较好地完成了分层练习检测，不同学习水平的学生都得到不同程度的发展，达到了预期的效果。

九、作业：

基础题：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，点A、点B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B最短路程是多少？

中等题：（2015•四川资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（      ）

A．13cm   B．cm  C．cm  D．cm

提高题：（2014•山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．

【设计意图】探究方法和能力迁移，为以后的高中的立体几何的分析奠定了基础，设计难度不同的题目供学生根据自己的学力自主选择。