第19章 关于一次函数中考考点重难点总结归纳教案

关于一次函数考点的总结和归纳

1、中考要求

1．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数及变量思想，进一步发展抽象思维能力；经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流活动中发展合作意识和能力．

2．经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展形象思维能力．

3．初步理解一次函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系．

4．能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．

2、中考热点

一次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容．本知识点主要考查一次函数的图象、性质及应用，这些知识能考查考生综合能力、解决实际问题的能力．因此，一次函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题

3、中考命题趋势及复习对策

   一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的5％～10％，分值约占总分的5％～10％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力．

针对中考命题趋势，在复习时应先理解一次函数概念．掌握其性质和图象，而且还要注重一次函数实际应用的练习．

4、知识点概括

1．一次函数的意义及其图象和性质

⑴．一次函数 ：       若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．（定义：一般的形如y=kx+b(k、b为常数，k ≠0)的函数叫做一次函数）

⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),

(－，0 ）的一条直线，它是由直线y=kx平移个单位长度得到（b>0,向上平移，b<0，向下平移）

正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条直线

⑶．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．（重点、难点）

⑷．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．（重点)

2．一次函数表达式的求法（重点）

⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：

⑴写出函数表达式的一般形式；

⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；

⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

⑶．一次函数表达式的求法：

确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

3、正比例函数和一次函数图像的画法

    （1）正比例函数y=kx（k）的图像画法：一般过（0 ，0），

（1  ,  k）两点作函数。

（2）一次函数y=kx+b（k）的图像画法: 一般过(0，b),

(－，0 ）两点作函数。

4、函数的观点看方程（组）与不等式

（1）一次函数与一元一次方程

一次函数y=kx+b（k）与x轴交点横坐标为－，即为一元一次方程kx+b=0的根；

（2）一次函数与一元一次不等式

一次函数y=kx+b（k），当y>0 (或y<0)时可得一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0），其解集为函数值大于（或小于）0的相对应的自变量的取值范围；

规律总结

  一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0和一元一次不等式的关系：函数y=kx+b的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx+b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx+b=0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx+b<0的解集.

（3）一次函数与二元一次方程（组）

一次函数y=kx+b（k），从方程的角度可以看做一个二元一次方程，则一次函数y=k1x+b1 与y=k2x+b2  的交点就是方程组的解对应的点。

一元一次方程的解就是一次函数图像与X轴交点横坐标的横坐标的值；反之一次函数图像与X轴交点横坐标的横坐标就是相应的一元一次方程的解。

⑶ 直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：

①当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．

②当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b   的图象．

⑷直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)．

当k1=k2且时，l1与l2平行

当k1=k2且时，l1与l2重合

当时，则l1与l2垂直（目前这个结论可以能用在选择和填空题里）

⑸直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

①)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

②直线y=kx＋b与x轴交点坐标为(－，0)与 y轴交点坐标为(0，b)．

5、考点

考点1　确定自变量的取值范围

确定函数解析式中的自变量的取值范围，只需保证其函数有意义即可．

例1（盐城市）函数y＝中，自变量x的取值范围是         ．

分析　由于函数的表达式是分式型的，因此必需保证分母不等于0即可．

解　要使函数y＝有意义，只需分母x－1≠0，即x≠1．

说明　确定一个函数的自变量的取值范围，对于函数是整式型的可以取任何数，若是分数型，只需使分母不为0，对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义．

考点2　函数图象

把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象．

例2（泉州市）小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．如图1中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t（分）之间的关系（　　　）

分析　依据题意，并观察分析每一个图象的特点，即可作出判断．

解　依题意小明所在学校离家距离为2千米，先行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，即能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t（分）之间的关系只有D图符合，故应选D．

说明　求解时要充分发挥数形结合的作用，及时从图象中捕捉求解有用的信息，并依据函数图象的概念对图象作出正确判断．

考点3　图象与坐标轴围成的面积问题

对于一次函数y＝kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b）和（－，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为＝．

例（日照市）已知直线y＝mx－1上有一点B（1，n），它到原点的距离是，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　　）

  　A．　　　　　B．或　　　　　C．或   　　 D．或

分析　若能利用直线y＝mx－1上有一点B（1，n），它到原点的距离是求出n，则可以进一步求出了m，从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．

解　因为点B（1，n）到原点的距离是，所以有12+ n2＝10，即n＝±3，则点B的坐标为（1，3）或（1，－3）．

分别代入y＝mx－1，得m＝4，或m＝－2．所以直线的表达式为y＝4x－1或y＝－2x－1，即易求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为或．故应选C． 

说明　要求直线与两坐标轴围成的三角形的面积，只要能求出直线与坐标轴的交点坐标即可，这里的分类讨论是正确求解的关键．

考点4　求一次函数的表达式，确定函数值

要确定一次函数的解析式，只需找到满足k、b的两个条件即可．一般地，根据条件列出关于k、b的二元一次方程组，解出k与b的值，从而就确定了一次函数的解析式．另外，对于实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．

例4（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图2．

（1）求出当月用水量不超过5吨时，y与x之间的函数关系式；

（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?   

分析　观察函数图象我们可以发现是一条分段图象，因此只要分0≤x≤5和x≥5求解．

解（1）由图象可知：当0≤x≤5时是一段正比例函数，设y＝kx，由x＝5时，y＝5，得5＝5k，即k＝1．所以0≤x≤5时，y＝x．

（2）当x≥5时可以看成是一条直线，设y＝k1x+ b由图象可知解得所以当x≥5时，y＝1．5x－2．5；当x＝8时，y＝1．5×8－2．5＝9．5(元)．

说明　确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件．对于在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值．在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解．另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理．

考点5　利用一次函数解决实际问题

　　利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．

例7（长沙市）我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元．

（1）请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数关系式；

（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；

（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．

分析　依题意可以知道从A村运往C仓库的柑桔重量、从A村运往D仓库的柑桔重量、从B村运往C仓库的柑桔重量和从B村运往D仓库的柑桔重量，这样就可以求得yA、yB与x之间的函数关系式，进而利用不等式和一次函数的性质求解．

解（1）依题意，从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200－x)吨，同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240－x)吨，从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300－240+x)吨，即(60+x)吨．所以表中C栏中填上(240－x)吨，D栏中人上到下依次填(200－x)吨、(60+x)吨．从而可以分别求得yA＝－5x+5000(0≤x≤200)，yB＝3x+4680(0≤x≤200)．

（2）当yA＝yB时，－5x+5000＝3x+4680，即x＝40；当yA＞yB时，－5x+5000＞3x+4680，即x＜40；当yA＜yB时，－5x+5000＜3x+4680，即x＞40；所以当x＝40时，yA＝yB即两村运费相等；当0≤x≤40时，yA＞yB即村运费较少；当40＜x≤200时，yA＜yB即村费用较少．

（3）由yB≤4830，得3x+4680≤4830，所以x≤50．设两村运费之和为y，所以y＝yA+yB，即y＝－2x+9680，又0≤x≤时，y随x增大而减小，即当x＝50时，y有最小值为9580y（元）．所以当A村调往C仓库的柑桔重量为50吨，调往D仓库为150吨，B村调往C仓库为190吨，调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．

说明　一次函数的重点内容之一就是利用一次函数图象的特征来解决解决实际应用问题，所以一定要在应用上下功夫．另外，一次函数的应用问题是近年来中考的热点，其试题的形式活泼，题型新颖，情景生动，富有时代气息，体现新课程的理念，我们应注意巩固和运用．