高中数学第二章推理与证明单元形成性评价含解析新人教A版选修2_2练习题

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单元形成性评价(二)(第二章)(120分钟　150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2021·玉林高二检测)下列表述正确的是(　　)①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③    B．②③④    C．①③⑤    D．②④⑤【解析】选C.所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，故①对②错；所谓演绎推理是由一般到特殊的推理，故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，故④错⑤对．2．诗歌是一种抒情言志的文学体裁，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，使抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街上灯笼最少几盏(　　)A．70      B．128      C．140      D．150【解析】选B.由七七数时余两个，可知灯笼数除以7余2，则A，C，D错．3．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BC【解析】选A.这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.4．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)A．＋＝2  B．＋＝2C．＋＝2  D．＋＝2【解析】选A.观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.5．观察下列各式：3＝22×3，3＝32×3，3＝42×3，…，若3＝92×3，则m＝(　　)A．80      B．81      C．728      D．729【解析】选C.3＝22×3＝22×3，3＝32×3＝32×3，3＝42×3＝42×3，…，所以3＝n2×3，所以3＝92×3＝92×3，所以m＝93－1＝729－1＝728.6．(2021·银川高二检测)以下说法中正确个数是(　　)①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；②欲证不等式－<－成立，只需证2<2；③用数学归纳法证明1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋，在验证n＝1成立时，左边所得项为1＋a＋a2；④“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数．”以上三段论推理完全正确．A．1    B．2    C．3    D．4【解析】选B.命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”，①错；欲证不等式－<－成立，因为－<－<0，故只需证2>2，②错；1＋a＋a2＋a3＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋，当n＝1时，左边所得项为1＋a＋a2，③正确；命题中，大前提为：凡是自然数都是整数，小前提为：0是自然数，结论为：0是整数，其中大前提、小前提都正确，则④正确．7．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为(　　)A．＋＋＝1       B．＋＋＝1C．＋＋＝1      D．ax＋by＋cz＝1【解析】选A.因为在平面直角坐标系中，方程＋＝1，表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”类比到空间坐标系中，在x，y，z轴的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.8．设x，y，z均为正实数，则三个数＋，＋，＋(　　)A．都大于2      B．都小于2C．至多有一个小于2   D．至少有一个不小于2【解析】选D.假设＋，＋，＋三个数都小于2，则＋＋＋＋＋<6，由＋＋＋＋＋＝＋＋≥6，与＋＋＋＋＋<6矛盾，所以假设错误．9．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2 018＝(　　)A．504    B．505    C．1 008    D．1 009【解析】选D.由a2，a4，a6，a8，…组成的数列恰好对应数列{yn}，即yn＝a2n＝n.所以a2 018＝y1 009＝1 009.10．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒小于0       B．恒大于0C．可能等于0      D．可正也可负【解析】选A.不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，所以2<x2<4－x1，所以f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，f(x1)＋f(x2)<0.11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)A．甲、乙、丙      B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲      D．甲、丙、乙【解析】选A.(1)若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即①甲的成绩比乙高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙低．由①②③可得甲、乙、丙成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙．(2)若乙预测正确，则甲、丙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩最高；③丙的成绩比乙低．由上可知②③相矛盾，故此情况不成立．(3)若丙预测正确，则甲、乙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙高．由①③得成绩由高到低的顺序为丙、乙、甲，与②相矛盾，此情况不成立．12．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过(　　)次检测．A．3      B．4      C．5      D．6【解析】选B.第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．二、填空题(每小题5分，共20分)13．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．【解析】因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，所以由底数规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：21214．(2021·北海高二检测)一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是________．【解析】23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19；因为3＝2×1＋1，7＝3×2＋1，13＝4×3＋1，所以m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m－1)＋1，所以1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99＋1＝9 901.答案：9 90115．已知等差数列{an}的前n项和是Sn＝，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝________(用n，b1，bn表示).【解析】由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{bn}的前n项积Tn＝．答案：16．对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个实数m，n(m<n)，使得x∈[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称函数f(x)为“和谐函数”．若函数f(x)＝k＋是“和谐函数”，则实数k的取值范围是________．【解析】因为函数的定义域为x≥－2，又f(x)＝k＋在定义域内为单调增函数，则x∈[m，n]时，有f(m)≤f(x)≤f(n)，则可转化为方程k＋＝x在x∈[－2，＋∞)上有两个相异实根，即k＝x－，令t＝，则x＝t2－2，得k＝t2－t－2(t≥0)，由图(图略)可知，当－<k≤－2时，方程有两个不等的实根，符合题意．答案：三、解答题(共70分)17．(10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.【证明】因为a＞b＞c且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0.要证明原不等式成立只需证明＜a，即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，即(a－c)(2a＋c)＞0，因为a－c＞0，2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，故原不等式成立．18．(12分)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？【解析】(1)假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．19．(12分)(2021·柳州高二检测)(1)当n≥0时，试用分析法证明：－<－；(2)已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证：a，b中至少有一个不小于0.【解析】(1)要证－<－，即证＋<2，只要证2<2，即证2n＋2＋2<4n＋4，即证<n＋1，只要证n2＋2n<n2＋2n＋1，而上式显然成立，所以－<－成立；(2)假设a<0且b<0，由a＝x2－1<0得－1<x<1，由b＝2x＋2<0得x<－1，这与－1<x<1矛盾，所以假设错误，所以a，b中至少有一个不小于0.20．(12分)(2020·浙江高考)已知1<a≤2，函数f(x)＝ex－x－a，其中e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点；(2)记x0为函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的零点，证明：①≤x0≤；②x0f()≥(e－1)(a－1)a.【解析】(1)当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex－1>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(0)＝1－a<0， f(2)＝e2－2－a≥e2－4>0，f(0)f(2)<0，则y＝f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点．(2)①由于f(x)单调递增，1<a≤2.设x0的最大值为t，则et＝2＋t.由f(1)＝e－1－2<0，则t>1.右边：由于x≥0时，ex≥1＋x＋x2，且－x0－a＝0，则a≥1＋x⇒x0≤.左边：要证明x≥a－1＝－x0－1，只需证明－x－x0－1≤0.记h(x)＝ ex－1－x－x2(0≤x≤t)，则h′(x)＝ex－1－2x，h″(x)＝ex－2，于是h′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．于是h′(x)＝ex－1－2x≤max{h′(0)，h′(t)}＝0，则h(x)在0≤x≤t上单调递减．h(x)＝ex－1－x－x2≤h(0)＝0，得证．②要证明x0f(ex0)≥(e－1)(a－1)a，只需证：x0f(x0＋a)≥(e－1)(a－1)a.由于(xf(x＋a))′＝ f(x＋a)＋xf′(x＋a)>f(x＋a)>f(a)＝ea－2a≥1－a＋>0，则x0f(x0＋a)≥f(＋a)，只需要证明：f(＋a)≥(e－1)a，即－－2a≥(e－1)a.由ex≥1＋x＋x2，只需证：1＋(＋a)2－a≥(e－1)a⇔a2－()2－2(e－2)a·≥0，只需证－≥2(e－2)，由于＝＋∈[2，＋∞)，则－≥2－＝≥2(e－2).综上所述，得证．21．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD.(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.【解析】(1)因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB，又DC∥EB.所以PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，所以PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.所以CQ⊥EB，又EB∩AB＝B，故CQ⊥平面ABE.由(1)知，PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形．所以DP⊥平面ABE.故∠DAP为AD与平面ABE所成角．在Rt△DAP中，AD＝，DP＝1，所以sin ∠DAP＝.因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.22．(12分)已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.(1)求f(1)及f(－1)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．【解析】(1)因为f＝n5＋n4＋n3－n，所以f(1)＝1，f(－1)＝0；(2)对一切整数n，f(n)一定是整数．证明如下：(10)先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f(n)是整数．①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即f＝k5＋k4＋k3－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)＝＋＋－(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1，根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数，故f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．由①，②可知对一切正整数n，f(n)是整数．(20)当n＝0时，f(0)＝0是整数．(30)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(10)f(m)是整数，所以f＝f＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数．综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．