广东省深圳市2022届高三下学期第一次调研考试（一模）数学试卷含答案

2022年深圳市高三年级第一次调研考试

数学

2022.2

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x>-1},B={-1,0,1,2},则A∩B=

A.{0,1}        B.{1,2}        C.{0,1,2}       D.{-1,1,2}

2.已知复数z满足(1+i)z=1-i,其中i为虚数单位，则z的虚部为

A.0               B.-1               C.1                D.-i

3.以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于

A.8π                B.4π            C.8                D.4

4.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”。由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=2sin(ωt+φ),其中ω>0,若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为so(-2<so<2)的时间分别为t1,t2,t3,且t3-t1= t 2,则ω＝

A.                     B.π                   C.             D.2π  

5.已知椭圆C: =1(a>b>0),圆M:x2+y2-2bx-ay=0,若圆M的圆心在椭圆C上，则椭圆C的离心率为

A.                B.                C. 或          D.

6.已知,则tanθ=

A.        B.-           C.          D.-

7.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是

A.事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件

B.事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件

C.该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为

D.当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为

8.已知函数f(x)= +a(ex-1+ex+1),其中a∈R,则

A. f(x)在（2,+ ∞)上单调递增            B.f(x)在（2,+ ∞)上单调递减

C.曲线y=f(x)是轴对称图形                D.曲线y=f(x)是中心对称图形

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则

A.    B.      C.       D.

10.某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：

已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为＝1.2x+,则下列说法正确的是

A. =0.6

B.变量y与x之间的线性相关系数r<0

C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元

D.该人工智能公司这5年的利润的方差小于23

11.已知定圆A的半径为1,圆心A到定直线l的距离为d,动圆C与圆A和直线l都相切，

圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别

为P1,P2,则

A.d>1         B.P1+P2=2d      C.P1P2=d2       D.

12.如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，CG=m,点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则

A.当m=4时，存在点P满足PA+PM=8

B.当m=4时，存在唯一的点P满足∠APM=

C.当m=4时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为2

D.当m=时，满足∠APM=的点P轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S5=25,则数列{an}的公差d=            .

14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=ex,则f(ln)=            .

15.在平面直角坐标系中，已知直线x+2y-4=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，若点P(cosθ,sinθ),则||的最大值为            .

·16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。已知AC,BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且sin∠ABD:sin∠ADB:sin∠BCD=2:3:4,若|AC|2=λ|BC|·|CD|,则实数入的最小值为            .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分）

已知数列{an}的首项a1=2,且满足an+1+an=4.3n(n∈N*).

（1)证明：数列{an-3n}是等比数列；

（2)求数列{an}的前n项和Sn.

18.(12分）

2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代。为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X,记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中。当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束。每位参与者只能参加一次游戏。

（1)求随机变量X的分布列及数学期望；

（2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．

19.(12分）

如图，在ΔABC中，已知AB=2,AC=6, ∠BAC=45°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P.

（1)求∠BAM的正弦值；

（2)求∠MPN的余弦值．

20.(12分）

如图，在四枝锥E-ABCD中，AB//CD,AD=CD=BC= AB,E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE⊥平面ABCD,M,N分别为DE,BC的中点．

（1)求证：MN//平面ABE;

（2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．

21.(12分）

已知双曲线C: =1 (a>0,b>0)经过点4(2,0),且点A到C的渐近线的距离为.

（1)求双曲线C的方程；

（2)过点（4,0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M,N两点，直线x=4分别交直线AM,AN于点E,F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由。

22.(12分）

已知函数f(x)=21nx-(a+1)x2-2ax+1(a∈R).

（1)求函数f(x)的单调区间；

（2)若函数f(x)有两个零点x1,x2.

（i)求实数a的取值范围；

（ii)求证：x1+x2>