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高考数学(文数)一轮复习考点测试04《函数及其表示》（教师版）
展开这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试04《函数及其表示》（教师版），共9页。试卷主要包含了已知反比例函数y＝f，故选B，已知f＝x2＋2x＋3，则f＝，“龟兔赛跑”讲述了这样的故事，若函数f如下表所示，下列函数为同一函数的是等内容，欢迎下载使用。
高考概览
eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中高等难度)
考纲研读
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数
3．了解简单的分段函数，并能简单应用
一、基础小题
1．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f[g(π)]的值为( )
A．1 B．0 C．－1 D．π
答案 B
解析 因为g(π)＝0，所以f[g(π)]＝f(0)＝0，故选B．
2．下列图象中，不可能成为函数y＝f(x)图象的是( )
答案 A
解析 函数图象上一个x值只能对应一个y值．选项A中的图象上存在一个x值对应两个y值，所以其不可能为函数图象，故选A．
3．下列各组函数中是同一个函数的是( )
①f(x)＝x与g(x)＝(eq \r(x))2；②f(x)＝x与g(x)＝eq \r(x2)；
③f(x)＝x2与g(x)＝eq \r(x4)； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
答案 C
解析 ①中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，故f(x)，g(x)不是同一个函数；②中g(x)＝eq \r(x2)＝|x|，故f(x)，g(x)不是同一个函数．故选C．
4．若点A(0，1)，B(2，3)在一次函数y＝ax＋b的图象上，则一次函数的解析式为( )
A．y＝－x＋1 B．y＝2x＋1 C．y＝x＋1 D．y＝2x－1
答案 C
解析 将点A，B代入一次函数y＝ax＋b得b＝1，2a＋b＝3，则a＝1．
故一次函数的解析式为y＝x＋1．故选C．
5．已知反比例函数y＝f(x)．若f(1)＝2，则f(3)＝( )
A．1 B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,3) D．－1
答案 B
解析 设f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)，由题意有2＝k，所以f(x)＝eq \f(2,x)，故f(3)＝eq \f(2,3)．故选B．
6．已知f(x＋1)＝x2＋2x＋3，则f(x)＝( )
A．x2＋4x＋6 B．x2－2x＋2 C．x2＋2 D．x2＋1
答案 C
解析 解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)2＋2得f(x)＝x2＋2．故选C．
解法二：令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋3＝t2＋2，
故f(x)＝x2＋2．故选C．
7．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点个数可能是( )
A．1 B．0 C．0或1 D．1或2
答案 C
解析 函数的图象与直线有可能没有交点．如果有交点，那么对于x＝1，f(x)仅有一个函数值与之对应．故选C．
8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )
答案 B
解析 兔子的速率大于乌龟，且到达终点的时间比乌龟长，观察图象可知，选B．
10．若函数f(x)如下表所示：
则f[f(1)]＝________．
答案 1
解析 由表格可知，f(1)＝2，所以f[f(1)]＝f(2)＝1．
11．已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝eq \f(2x,2－x2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________．
答案 eq \f(8,31)
解析 令1－2x＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(1,4)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2×\f(1,4),2－\f(1,16))＝eq \f(\a\vs4\al(\f(1,2)),\f(31,16))＝eq \f(8,31)．
12．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x≤0，,\f(1,4)x－22－1，x>0))
解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－k＋b＝0，,b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝1.))∴y＝x＋1．
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0)，
∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，解得a＝eq \f(1,4)．
综上，函数f(x)在[－1，＋∞)上的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x≤0，,\f(1,4)x－22－1，x>0.))
二、高考小题
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋lg22－x，x<1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(lg212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
答案 C
解析 ∵－2<1，∴f(－2)＝1＋lg2[2－(－2)]＝3；
∵lg212>1，∴f(lg212)＝2lg212－1＝2lg26＝6．∴f(－2)＋f(lg212)＝9．
14．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有( )
A．f(sin2x)＝sinx B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
答案 D
解析 对于A，令x＝0，得f(0)＝0；令x＝eq \f(π,2)，得f(0)＝1，这与函数的定义不符，故A错误．在B中，令x＝0，得f(0)＝0；令x＝eq \f(π,2)，得f(0)＝eq \f(π2,4)＋eq \f(π,2)，与函数的定义不符，故B错误．在C中，令x＝1，得f(2)＝2；令x＝－1，得f(2)＝0，与函数的定义不符，故C错误．在D中，变形为f(|x＋1|2－1)＝|x＋1|，令|x＋1|2－1＝t，得t≥－1，|x＋1|＝eq \r(t＋1)，从而有f(t)＝eq \r(t＋1)，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D．
15．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1，x<1，,2x，x≥1.))则满足f[f(a)]＝2f(a)的a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B．[0，1] C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 解法一：①当a
②当eq \f(2,3)≤a<1时，f(a)＝3a－1≥1，f[f(a)]＝23a－1，2f(a)＝23a－1，故f[f(a)]＝2f(a)．
③当a≥1时，f(a)＝2a>1，f[f(a)]＝22a，2f(a)＝22a，故f[f(a)]＝2f(a)．
综合①②③知a≥eq \f(2,3)．故选C．
解法二：∵f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1，x<1，,2x，x≥1，))而f[f(a)]＝2f(a)，∴f(a)≥1，
∴有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,3a－1≥1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥1，,2a≥1，))解得eq \f(2,3)≤a<1或a≥1，∴a≥eq \f(2,3)，即a∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))，故选C．
16．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs\f(πx,2)，0
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，
∴f(15)＝f(－1)＝eq \f(1,2)，feq \f(1,2)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，∴f[f(15)]＝feq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)．
17．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x＞0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
解析 由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤eq \f(1,2)，x＞eq \f(1,2)三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋eq \f(1,2)＞1，解得x＞－eq \f(1,4)，∴－eq \f(1,4)＜x≤0．
当0＜x≤eq \f(1,2)时，原不等式为2x＋x＋eq \f(1,2)＞1，显然成立．
当x＞eq \f(1,2)时，原不等式为2x＋2x－eq \f(1,2)＞1，显然成立．
综上可知，x＞－eq \f(1,4)．
三、模拟小题
18．其对应关系如下：
则f[g(1)]的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 根据映射g的对应关系，可得g(1)＝4，再根据映射f的对应关系，可得f(4)＝1，故选A．
19．下列函数为同一函数的是( )
A．y＝x2－2x和y＝t2－2t
B．y＝x0和y＝1
C．y＝eq \r(x＋12)和y＝x＋1
D．y＝lg x2和y＝2lg x
答案 A
解析 对于A：y＝x2－2x和y＝t2－2t的定义域都是R，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B：y＝x0的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域是R，两函数的定义域不同，∴不是同一函数；对于C：y＝ eq \r(x＋12)＝|x＋1|和y＝x＋1的定义域都是R，但对应关系不相同，∴不是同一函数；对于D：y＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，而y＝2lg x的定义域是{x|x>0}，两函数的定义域不同，∴不是同一函数．故选A．
20．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1x≥2，,lg2x0
答案 D
解析 当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0
①前三年中，产量的增长速度越来越快；
②前三年中，产量的增长速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是( )
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
答案 A
解析 由函数图象可知，在区间[0，3]上，图象凸起上升，表明年产量增长速度越来越慢；在区间(3，8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，所以②③正确．故选A．
22．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋λ，x<1λ∈R，,2x，x≥1，))若对任意的a∈R都有f[f(a)]＝2f(a)成立，则λ的取值范围是( )
A．(0，2] B．[0，2] C．[2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 C
解析 当a≥1时，2a≥2，∴f[f(a)]＝f(2a)＝22a＝2f(a)，∴λ∈R；当a<1时，f[f(a)]＝f(λ－a)＝2λ－a，∴λ－a≥1，即λ≥a＋1，由题意知λ≥(a＋1)max，∴λ≥2．
综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．故选C．
23．已知函数f(x)＝ax－b(a>0)，f[f(x)]＝4x－3，则f(2)＝________．
答案 3
解析 由题意，得f[f(x)]＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b＝4x－3，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,－ab－b＝－3，))因为a>0，所以解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))所以f(x)＝2x－1，则f(2)＝3．
24．已知函数f(x)＝eq \f(2,2x＋1)＋sinx，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝________．
答案 5
解析 ∵f(x)＋f(－x)＝eq \f(2,2x＋1)＋sinx＋eq \f(2,2－x＋1)－sinx＝eq \f(2,2x＋1)＋eq \f(2x＋1,1＋2x)＝2，且f(0)＝1，
∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝5．
25．已知f(1－csx)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________．
答案 f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]
解析 f(1－csx)＝sin2x＝1－cs2x，令1－csx＝t，t∈[0，2]，则csx＝1－t，
所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，则f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cx＋1，0
(2)解方程f(x)＝eq \f(9,8)．
解 (1)∵0
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的取值范围．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1．
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))
所以f(x)＝x2－x＋1．
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
其图象的对称轴为直线x＝eq \f(3,2)，
所以g(x)在[－1，1]上单调递减．
故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．
故实数m的取值范围是(－∞，－1)．
3．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1)上有表达式f(x)＝x2．
(1)求f(－1)，f(1．5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
解 (1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1．5)＝f(1＋0．5)＝－eq \f(1,2)f(0．5)＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,8)．
(2)当x∈[0，1)时，f(x)＝x2；
当x∈[1，2)时，x－1∈[0，1)，
f(x)＝－eq \f(1,2)f(x－1)＝－eq \f(1,2)(x－1)2，
f(2)＝－eq \f(1,2)f(1)＝eq \f(1,4)f(0)＝0；
当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2．
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x＝2，,－\f(1,2)x－12，x∈[1，2，,x2，x∈[0，1，,－2x＋12，x∈[－1，0，,4x＋22，x∈[－2，－1.))
4．某公司研发出一款产品，批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查．调查结果发现：日销量f(t)与天数t的对应关系服从图①所示的函数关系：每件产品的销售利润h(t)与天数t的对应关系服从图②所示的函数关系．图①由抛物线的一部分(A为抛物线顶点)和线段AB组成．
(1)设该产品的日销售利润Q(t)(0≤t≤30，t∈N)，分别求出f(t)，h(t)，Q(t)的解析式；
(2)若在30天的销售中，日销售利润至少有一天超过8500元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由．
解 (1)f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)t2＋4t，0≤t≤20，,－t＋60，20
Q(t)＝－eq \f(1,10)t2＋4t20t＝－2t3＋80t2；
当10
当0≤t≤10时，Q(t)max＝Q(10)＝6000，
当10
∴在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过8500元，不可以投入批量生产．
x
0
1
2
3
f(x)
3
2
1
0
x
1
2
3
4
f(x)
3
4
2
1
x
1
2
3
4
g(x)
4
3
1
2
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