高考数学(文数)一轮复习考点测试17《任意角蝗制任意角的三角函数》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试17《任意角蝗制任意角的三角函数》（教师版），共9页。试卷主要包含了了解任意角的概念，故选A，故选B，故选D等内容，欢迎下载使用。

高考概览
eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，低等难度)
考纲研读
1.了解任意角的概念
2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
一、基础小题
1．已知角α的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，则tanα＝( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(3,4)
答案 D
解析 根据三角函数的定义，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(3,4)，故选D.
2．若sinα＜0且tanα＜0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
解析 由sinα＜0，得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上；由tanα＜0，得α在第二或第四象限，故α是第四象限角．故选D.
3．sin2cs3tan4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
答案 A
解析 ∵sin2>0，cs3<0，tan4>0，∴sin2cs3tan4<0.故选A.
4．已知扇形的半径为12 cm，弧长为18 cm，则扇形圆心角的弧度数是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,2)
答案 B
解析 由题意知l＝|α|r，∴|α|＝eq \f(l,r)＝eq \f(18,12)＝eq \f(3,2).故选B.
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(4,5)，则csα的值为( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
答案 D
解析 因为点A的纵坐标yA＝eq \f(4,5)，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，
所以A点横坐标xA＝－eq \f(3,5)，由三角函数的定义可得csα＝－eq \f(3,5).故选D.
6．已知α是第二象限角，P(x，eq \r(5))为其终边上一点，且csα＝eq \f(\r(2),4)x，则x＝( )
A.eq \r(3) B．±eq \r(3) C．－eq \r(2) D．－eq \r(3)
答案 D
解析 依题意得csα＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x<0，由此解得x＝－eq \r(3)，故选D.
7．已知角θ的终边过点P(－4k，3k)(k<0)，则2sinθ＋csθ的值是( )
A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5)或－eq \f(2,5) D．随着k的取值不同而不同
答案 B
解析 因为角θ的终边过点P(－4k，3k)(k＜0)，
所以点P到原点的距离为eq \r(－4k2＋3k2)＝－5k，
所以sinθ＝eq \f(3k,－5k)＝－eq \f(3,5)，csθ＝eq \f(－4k,－5k)＝eq \f(4,5)，2sinθ＋csθ＝2×－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)＝－eq \f(2,5)，故选B.
8．若α是第二象限角，则eq \f(α,3)一定不是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 ∵eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq \f(π,6)＋eq \f(2kπ,3)若k＝3n(n∈Z)，eq \f(α,3)是第一象限角；若k＝3n＋1(n∈Z)，eq \f(α,3)是第二象限角；
若k＝3n＋2(n∈Z)，eq \f(α,3)是第四象限角．故选C.
9．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，第二象限角可能大于第一象限角，也可能小于第一象限角，比如120°是第二象限角，370°是第一象限角，故①错误；
②中，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或直角，故②错误；
③中，角度大小与半径无关，故③正确；
④中，α与β的终边也可以关于y轴对称，故④错误；
⑤中，θ是第二或第三象限的角或(2k＋1)π(k∈Z)，故⑤错误．
故本题正确答案为A.
10．设角α是第三象限角，且sineq \f(α,2)＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
答案 四
解析 由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，则kπ＋eq \f(π,2)11．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
答案 －675°或－315°
解析 所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－eq \f(765,360)≤k<－eq \f(45,360)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
12．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
答案 eq \f(5,18)
解析 设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，设扇形的圆心角为α，则eq \f(\f(1,2)α\f(2r,3)2,πr2)＝eq \f(5,27)，
∴α＝eq \f(5π,6).∴扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,c)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq \f(5,18).
二、高考小题
13．若tanα>0，则( )
A．sinα>0 B．csα>0 C．sin2α>0 D．cs2α>0
答案 C
解析 由tanα>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与csα同号，
故sin2α＝2sinαcsα>0，故选C.
14．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cs2α＝eq \f(2,3)，则|a－b|＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2\r(5),5) D．1
答案 B
解析 根据题给条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，
因为cs2α＝2cs2α－1＝2·eq \f(1,\r(a2＋1))2－1＝eq \f(2,3)，解得a2＝eq \f(1,5)，即|a|＝eq \f(\r(5),5)，
所以|a－b|＝|a－2a|＝eq \f(\r(5),5).故选B.
15．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23π,6)))＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．0 D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,6)))＋sineq \f(17π,6)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,6)))＋sineq \f(11π,6)＋sineq \f(17π,6)
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＋sineq \f(5π,6)＋sineq \f(11π,6)＋sineq \f(17π,6)＝0＋eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故选A.
16．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq \f(1,3)，则sinβ＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，
∵sinα＝eq \f(1,3)，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝eq \f(1,3).
三、模拟小题
17．已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cs2θ－sin2θ＋tanθ的值为( )
A．－eq \f(121,75) B.eq \f(121,75) C．－eq \f(79,75) D.eq \f(79,75)
答案 A
解析 由已知得|OM|＝5，因而csθ＝－eq \f(3,5)，sinθ＝eq \f(4,5)，tanθ＝－eq \f(4,3)，
则cs2θ－sin2θ＋tanθ＝eq \f(9,25)－eq \f(16,25)－eq \f(4,3)＝－eq \f(121,75).故选A.
18．已知sinθ－csθ>1，则角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 由已知得(sinθ－csθ)2>1，即1－2sinθcsθ>1，sinθcsθ<0，
又sinθ>csθ，所以sinθ>0>csθ，所以角θ的终边在第二象限．故选B.
19．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cs2)，则sinα＝( )
A．sin2 B．－sin2 C．cs2 D．－cs2
答案 D
解析 因为r＝eq \r(2sin22＋－2cs22)＝2，由任意三角函数的定义，
得sinα＝eq \f(y,r)＝－cs2.故选D.
20．已知角x的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(5π,6)，cs\f(5π,6)))，则角x的最小正值为( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(5π,3) C.eq \f(11π,6) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 ∵sineq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，cseq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，∴角x的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，tanx＝－eq \r(3)，
∴x＝2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z，∴角x的最小正值为eq \f(5π,3).(也可用同角基本关系式tanx＝eq \f(sinx,csx)得出．)故选B.
21．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋eq \f(π,4)的终边上，则m＝( )
A．－6或1 B．－1或6 C．6 D．1
答案 A
解析 由题意得，tanα＝eq \f(m,3)，tanα＋eq \f(π,4)＝eq \f(4,2m)＝eq \f(2,m)，
∴eq \f(2,m)＝eq \f(1＋\f(m,3),1－\f(m,3))，∴m＝－6或1，故选A.
22．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－eq \r(2)，eq \r(2)] C．[－1，1] D．－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)
答案 C
解析 设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝csα，
yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝csα－sin(α＋30°)＝－eq \f(\r(3),2)sinα＋eq \f(1,2)csα＝sin(α＋150°)∈[－1，1]．故选C.
23．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是________．
答案 eq \f(π,3)
解析 一个周角是2π，因此分针10分钟转过的角的弧度数为eq \f(10,60)×2π＝eq \f(π,3).
24．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________．
答案 eq \r(3)
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq \r(3)r，所以eq \r(3)r＝αr，所以α＝eq \r(3).
一、高考大题
1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5).
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求csβ的值．
解 (1)由角α的终边过点P－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5)得
sinα＝－eq \f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sinα＝eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点P－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5)，得csα＝－eq \f(3,5)，
由sin(α＋β)＝eq \f(5,13)得cs(α＋β)＝±eq \f(12,13).
由β＝(α＋β)－α得
csβ＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα，
所以csβ＝－eq \f(56,65)或csβ＝eq \f(16,65).
二、模拟大题
2．已知角α终边经过点P(x，－eq \r(2))(x≠0)，且csα＝eq \f(\r(3),6)x.求sinα＋eq \f(1,tanα)的值．
解 ∵P(x，－eq \r(2))(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝eq \r(x2＋2).
又csα＝eq \f(\r(3),6)x，∴csα＝eq \f(x,\r(x2＋2))＝eq \f(\r(3),6)x.
∵x≠0，∴x＝±eq \r(10)，∴r＝2eq \r(3).
当x＝eq \r(10)时，P点坐标为(eq \r(10)，－eq \r(2))，
由三角函数的定义，有sinα＝－eq \f(\r(6),6)，eq \f(1,tanα)＝－eq \r(5)，
∴sinα＋eq \f(1,tanα)＝－eq \f(\r(6),6)－eq \r(5)＝－eq \f(6\r(5)＋\r(6),6)；
当x＝－eq \r(10)时，同样可求得sinα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(6\r(5)－\r(6),6).
3．如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·eq \f(π,3)＋t·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π.
所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在eq \f(π,3)×4＝eq \f(4π,3)的位置，
则xC＝－cseq \f(π,3)×4＝－2，yC＝－sineq \f(π,3)×4＝－2eq \r(3).所以C点的坐标为(－2，－2eq \r(3))．
P点走过的弧长为eq \f(4π,3)×4＝eq \f(16π,3)，Q点走过的弧长为eq \f(2π,3)×4＝eq \f(8π,3).
4. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).将角α终边绕原点按逆时针方向旋转eq \f(π,4)，交单位圆于点B(x2，y2)．
(1)若x1＝eq \f(3,5)，求x2；
(2)过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝eq \f(4,3)S2，求tanα的值．
解 (1)因为x1＝eq \f(3,5)，y1>0，所以y1＝eq \r(1－x\\al(2,1))＝eq \f(4,5)，
所以sinα＝eq \f(4,5)，csα＝eq \f(3,5)，
所以x2＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)－sinαsineq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),10).
(2)S1＝eq \f(1,2)sinαcsα＝eq \f(1,4)sin2α.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
所以α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以S2＝－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－eq \f(1,4)cs2α.
因为S1＝eq \f(4,3)S2，
所以sin2α＝－eq \f(4,3)cs2α，即tan2α＝－eq \f(4,3)，
所以eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(4,3)，解得tanα＝2或tanα＝－eq \f(1,2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以tanα＝2.