高考数学(文数)一轮复习考点测试21《两角和与差的正弦》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试21《两角和与差的正弦》（教师版），共9页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。


一、基础小题
1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)
＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝－3．故选A．
2．若eq \f(cs2α,sinα－\f(π,4))＝－eq \f(\r(2),2)，则csα＋sinα的值为( )
A．－eq \f(\r(7),2) B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(7),2)
答案 C
解析 依题意得eq \f(cs2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－csα)＝－eq \r(2)(sinα＋csα)＝－eq \f(\r(2),2)，
所以csα＋sinα＝eq \f(1,2)．故选C．
3．化简cs15°cs45°－cs75°sin45°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 cs15°cs45°－cs75°sin45°＝cs15°cs45°－sin15°sin45°
＝cs(15°＋45°)＝cs60°＝eq \f(1,2)，故选A．
4．下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin15°cs15° B．cs215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cs215°
答案 B
解析 2sin15°cs15°＝sin30°＝eq \f(1,2)，cs215°－sin215°＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，
2sin215°－1＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2)，sin215°＋cs215°＝1．故选B．
5．已知cseq \f(π,4)－x＝eq \f(3,5)，则sin2x＝( )
A．eq \f(11,28) B．eq \f(7,25) C．－eq \f(7,25) D．－eq \f(16,25)
答案 C
解析 解法一：因为cseq \f(π,4)－x＝cseq \f(π,4)csx＋sineq \f(π,4)·sinx＝eq \f(\r(2),2)(csx＋sinx)＝eq \f(3,5)，
所以csx＋sinx＝eq \f(3\r(2),5)，cs2x＋sin2x＋2sinxcsx＝eq \f(18,25)，则2sinxcsx＝－eq \f(7,25)，
即sin2x＝－eq \f(7,25)．故选C．
解法二：sin2x＝sineq \f(π,2)－2eq \f(π,4)－x＝cs2eq \f(π,4)－x＝2cs2eq \f(π,4)－x－1＝2×eq \f(3,5)2－1＝－eq \f(7,25)．故选C．
6．已知csα－eq \f(π,6)＋sinα＝eq \f(4\r(3),5)，则sinα＋eq \f(7π,6)＝( )
A．－eq \f(2\r(3),5) B．eq \f(2\r(3),5) C．－eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)
答案 C
解析 因为csα－eq \f(π,6)＋sinα＝eq \f(4\r(3),5)，所以eq \f(\r(3),2)csα＋eq \f(1,2)sinα＋sinα＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(1,2)csα＋eq \f(\r(3),2)sinα＝eq \f(4,5)，所以sinα＋eq \f(π,6)＝eq \f(4,5)，所以sinα＋eq \f(7π,6)＝－sinα＋eq \f(π,6)＝－eq \f(4,5)．
故选C．
7．已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝eq \f(1,7)，则tanβ的值为________．
答案 3
解析 tanβ＝tan(α＋β－α)＝eq \f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq \f(\f(1,7)＋2,1－\f(2,7))＝3．
8．求值：eq \f(cs10°－\r(3)sin10°,sin20°)＝________．
答案 2
解析 原式＝eq \f(2\f(1,2)cs10°－\f(\r(3),2)sin10°,sin20°)＝eq \f(2sin30°－10°,sin20°)＝2．
二、高考小题
9．已知sinα－csα＝eq \f(4,3)，则sin2α＝( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9) C．eq \f(2,9) D．eq \f(7,9)
答案 A
解析 ∵(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα＝1－sin2α＝eq \f(4,3)2＝eq \f(16,9)，∴sin2α＝－eq \f(7,9)．故选A．
10．若sinα＝eq \f(1,3)，则cs2α＝( )
A．eq \f(8,9) B．eq \f(7,9) C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
答案 B
解析 cs2α＝1－2sin2α＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9)，故选B．
11．已知tanα－eq \f(5π,4)＝eq \f(1,5)，则tanα＝________．
答案 eq \f(3,2)
解析 tanα－eq \f(5π,4)＝eq \f(tanα－tan\f(5π,4),1＋tanα·tan\f(5π,4))＝eq \f(tanα－1,1＋tanα)＝eq \f(1,5)，解方程得tanα＝eq \f(3,2)．
12．已知α∈0，eq \f(π,2)，tanα＝2，则csα－eq \f(π,4)＝________．
答案 eq \f(3\r(10),10)
解析 因为α∈0，eq \f(π,2)，且tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2，所以sinα＝2csα，
又sin2α＋cs2α＝1，所以sinα＝eq \f(2\r(5),5)，csα＝eq \f(\r(5),5)，
则csα－eq \f(π,4)＝csαcseq \f(π,4)＋sinαsineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)(sinα＋csα)＝eq \f(3\r(10),10)．
13．cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由二倍角公式易得cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)．
三、模拟小题
14．sin47°cs17°＋cs47°cs(90°＋17°)＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(1,2)
答案 D
解析 sin47°cs17°＋cs47°cs(90°＋17°)
＝sin47°·cs17°＋cs47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝eq \f(1,2)．故选D．
15．已知角α的终边经过点P(sin47°，cs47°)，则sin(α－13°)＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 由三角函数的定义可知：
sinα＝eq \f(cs47°,\r(sin247°＋cs247°))＝cs47°，csα＝eq \f(sin47°,\r(sin247°＋cs247°))＝sin47°，
则sin(α－13°)＝sinαcs13°－csαsin13°＝cs47°cs13°－sin47°sin13°
＝cs(47°＋13°)＝cs60°＝eq \f(1,2)．故选A．
16．若csα＋eq \f(π,3)＝eq \f(4,5)，则cseq \f(π,3)－2α＝( )
A．eq \f(23,25) B．－eq \f(23,25) C．eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
答案 D
解析 ∵csα＋eq \f(π,3)＝eq \f(4,5)，∴csα＋eq \f(π,3)＝sineq \f(π,2)－α＋eq \f(π,3)＝sineq \f(π,6)－α＝eq \f(4,5)，
∴cseq \f(π,3)－2α＝1－2sin2eq \f(π,6)－α＝－eq \f(7,25)．故选D．
17．已知sinα＝eq \f(\r(10),10)，α∈0，eq \f(π,2)，则cs2α＋eq \f(π,6)的值为( )
A．eq \f(4\r(3)－3,10) B．eq \f(4\r(3)＋3,10) C．eq \f(4－3\r(3),10) D．eq \f(3\r(3)－4,10)
答案 A
解析 ∵sinα＝eq \f(\r(10),10)，α∈0，eq \f(π,2)，∴csα＝eq \f(3\r(10),10)，sin2α＝2sinαcsα
＝2×eq \f(\r(10),10)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，cs2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \f(\r(10),10)2＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5)，
∴cs2α＋eq \f(π,6)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(4\r(3)－3,10)．故选A．
18．已知sinα＋csα＝eq \f(\r(5),2)，则cs4α＝________．
答案 eq \f(7,8)
解析 由sinα＋csα＝eq \f(\r(5),2)，得sin2α＋cs2α＋2sinα·csα＝1＋sin2α＝eq \f(5,4)，
所以sin2α＝eq \f(1,4)，从而cs4α＝1－2sin22α＝1－2×eq \f(1,4)2＝eq \f(7,8)．
一、高考大题
1．已知α，β为锐角，tanα＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)．
(1)求cs2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tanα＝eq \f(4,3)，tanα＝eq \f(sinα,csα)，所以sinα＝eq \f(4,3)csα．
因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，
所以cs2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25)．
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2．
因为tanα＝eq \f(4,3)，所以tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)．
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan2α－tanα＋β,1＋tan2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11)．
二、模拟大题
2．已知函数f(x)＝Asinx＋eq \f(π,3)，x∈R，且feq \f(5π,12)＝eq \f(3\r(2),2)．
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，θ∈0，eq \f(π,2)，求feq \f(π,6)－θ的值．
解 (1)由feq \f(5π,12)＝eq \f(3\r(2),2)，即Asineq \f(5π,12)＋eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(2),2)，
可得Asineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2)A,2)＝eq \f(3\r(2),2)，解得A＝3．
(2)由f(θ)－f(－θ)＝3sinθ＋eq \f(π,3)－3sin－θ＋eq \f(π,3)＝3sinθ＝eq \r(3)，解得sinθ＝eq \f(\r(3),3)．
因为θ∈0，eq \f(π,2)，所以csθ＝eq \r(1－\f(\r(3),3)2)＝eq \f(\r(6),3)，
所以feq \f(π,6)－θ＝3sineq \f(π,2)－θ＝3csθ＝3×eq \f(\r(6),3)＝eq \r(6)．
3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，求：
(1)sin2α；
(2)tanα－eq \f(1,tanα)．
解 (1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)．
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))，
从而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，
所以sin2α＝sin2α＋eq \f(π,3)－eq \f(π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cseq \f(π,3)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)．
(2)∵α∈eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，∴2α∈eq \f(2π,3)，π．
又由(1)知sin2α＝eq \f(1,2)，∴cs2α＝－eq \f(\r(3),2)，
∴tanα－eq \f(1,tanα)＝eq \f(sinα,csα)－eq \f(csα,sinα)＝eq \f(sin2α－cs2α,sinαcsα)＝eq \f(－2cs2α,sin2α)＝－2×eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq \r(3)．
或者由(1)知2α＋eq \f(π,3)＝eq \f(7π,6)，所以α＝eq \f(5π,12)，所以sin2α＝sineq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，cs2α
＝cseq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以tanα－eq \f(1,tanα)＝eq \f(sinα,csα)－eq \f(csα,sinα)＝eq \f(sin2α－cs2α,sinαcsα)＝eq \f(－cs2α,\f(1,2)sin2α)＝2eq \r(3)．
4．已知函数f(x)＝a＋2cs2eq \f(x,2)cs(x＋θ)为奇函数，且feq \f(π,2)＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若α∈eq \f(π,2)，π，feq \f(α,2)＋eq \f(π,8)＋eq \f(2,5)csα＋eq \f(π,4)cs2α＝0，求csα－sinα的值．
解 (1)因为f(x)＝a＋2cs2eq \f(x,2)cs(x＋θ)是奇函数，
所以a＋2cs2eq \f(x,2)cs(x＋θ)＝－a＋2cs2eq \f(x,2)·cs(－x＋θ)，
化简，整理得，csxcsθ＝0，则有csθ＝0，
由θ∈(0，π)，得θ＝eq \f(π,2)，所以f(x)＝－sinxa＋2cs2eq \f(x,2)．
由feq \f(π,2)＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1．
(2)由(1)知f(x)＝－eq \f(1,2)sin2x，
feq \f(α,2)＋eq \f(π,8)＋eq \f(2,5)csα＋eq \f(π,4)cs2α＝0⇒sinα＋eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)csα＋eq \f(π,4)cs2α，
因为cs2α＝sin2α＋eq \f(π,2)＝sin2α＋eq \f(π,4)＝2sinα＋eq \f(π,4)csα＋eq \f(π,4)，
所以sinα＋eq \f(π,4)＝eq \f(8,5)cs2α＋eq \f(π,4)sinα＋eq \f(π,4)．
又α∈eq \f(π,2)，π，所以sinα＋eq \f(π,4)＝0或cs2α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5,8)．
由sinα＋eq \f(π,4)＝0⇒α＝eq \f(3π,4)，所以csα－sinα＝cseq \f(3π,4)－sineq \f(3π,4)＝－eq \r(2)；
由cs2α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5,8)，eq \f(3π,4)<α＋eq \f(π,4)得csα＋eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(5),2\r(2))⇒eq \f(1,\r(2))(csα－sinα)＝－eq \f(\r(5),2\r(2))⇒csα－sinα＝－eq \f(\r(5),2)．
综上，csα－sinα＝－eq \r(2)或csα－sinα＝－eq \f(\r(5),2)．
5．已知f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tanx)))sin2x－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))．
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，求f(x)的取值范围．
解 (1)f(x)＝(sin2x＋sinxcsx)＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(1,2)sin2x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)(sin2x－cs2x)＋cs2x
＝eq \f(1,2)(sin2x＋cs2x)＋eq \f(1,2)．
由tanα＝2，得sin2α＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα,tan2α＋1)＝eq \f(4,5)，
cs2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq \f(3,5)，
所以，f(α)＝eq \f(1,2)(sin2α＋cs2α)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,5)．
(2)由(1)得，f(x)＝eq \f(1,2)(sin2x＋cs2x)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2)．
由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，得eq \f(5π,12)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)．
所以－eq \f(\r(2),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤1,0≤f(x)≤eq \f(\r(2)＋1,2)，
所以f(x)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2)＋1,2)))．