高考数学(文数)一轮复习考点测试22《简单的三角恒等变换》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试22《简单的三角恒等变换》（教师版），共10页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。


一、基础小题
1．已知tanα＝2，则eq \f(sin2α,cs2α)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,cs2α)＝2tanα＝4，故选C．
2．已知csα＝eq \f(1,3)，α∈(π，2π)，则cseq \f(α,2)等于( )
A．eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3) C．eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 ∵csα＝eq \f(1,3)，α∈(π，2π)，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))．
∴cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋csα,2))＝－eq \r(\f(1＋\f(1,3),2))＝－eq \f(\r(6),3)．故选B．
3．若cseq \f(π,2)－α＝eq \f(1,3)，则cs(π－2α)＝( )
A．－eq \f(4\r(2),9) B．eq \f(4\r(2),9) C．－eq \f(7,9) D．eq \f(7,9)
答案 C
解析 解法一：因为cseq \f(π,2)－α＝sinα＝eq \f(1,3)，
所以cs(π－2α)＝－cs2α＝2sin2α－1＝－eq \f(7,9)，故选C．
解法二：cs(π－2α)＝2cs2eq \f(π,2)－α－1＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9)，故选C．
4．已知tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝eq \f(1,3)，则tanα－eq \f(π,4)＝( )
A．eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．eq \f(1,7) D．eq \f(6,7)
答案 B
解析 因为tanα＝tan[(α＋β)－β]＝eq \f(tanα＋β－tanβ,1＋tanα＋βtanβ)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7)，
所以tanα－eq \f(π,4)＝eq \f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq \f(\f(1,7)－1,1＋\f(1,7))＝－eq \f(3,4)，故选B．
5．若α为锐角，3sinα＝tanα＝eq \r(2)tanβ，则tan2β＝( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
答案 D
解析 因为3sinα＝tanα＝eq \f(sinα,csα)，α为锐角，所以csα＝eq \f(1,3)，sinα＝eq \f(2\r(2),3)，
所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2eq \r(2)＝eq \r(2)tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝eq \f(4,1－4)＝－eq \f(4,3)．故选D．
6．cs20°cs40°cs80°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,16)
答案 C
解析 cs20°cs40°cs80°＝eq \f(8sin20°cs20°cs40°cs80°,8sin20°)＝eq \f(sin160°,8sin20°)＝eq \f(1,8)．故选C．
7．已知cs(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝eq \f(1,3)，则cs2x的值为________．
答案 －eq \f(7,9)
解析 cs(x＋2θ)＋2sinθsin(x＋θ)＝cs(x＋θ)csθ＋sinθsin(x＋θ)＝csx＝eq \f(1,3)，则cs2x＝2cs2x－1＝－eq \f(7,9)．
8．化简：eq \f(2sinπ－α＋sin2α,cs2\f(α,2))＝________．
答案 4sinα
解析 eq \f(2sinπ－α＋sin2α,cs2\f(α,2))＝eq \f(2sinα＋2sinαcsα,\f(1,2)1＋csα)＝eq \f(4sinα1＋csα,1＋csα)＝4sinα．
二、高考小题
9．若tanα＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sinαcs\f(π,5)＋csαsin\f(π,5),sinαcs\f(π,5)－csαsin\f(π,5))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,5),tanα－tan\f(π,5))，
∵tanα＝2taneq \f(π,5)，∴eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(3tan\f(π,5),tan\f(π,5))＝3．故选C．
10．已知sinα＋csβ＝1，csα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 解法一：因为sinα＋csβ＝1，csα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－csα)2＝1，所以sinα＝eq \f(1,2)，csβ＝eq \f(1,2)，因此sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－cs2α＝eq \f(1,4)－1＋sin2α＝eq \f(1,4)－1＋eq \f(1,4)＝－eq \f(1,2)．
解法二：由(sinα＋csβ)2＋(csα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2)．
11．已知2cs2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
答案 eq \r(2) 1
解析 ∵2cs2x＋sin2x＝1＋cs2x＋sin2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴A＝eq \r(2)，b＝1．
12．已知θ是第四象限角，且sinθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,5)，则tanθ－eq \f(π,4)＝________．
答案 －eq \f(4,3)
解析 解法一：∵sinθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×(sinθ＋csθ)＝eq \f(3,5)，
∴sinθ＋csθ＝eq \f(3\r(2),5) ①，∴2sinθcsθ＝－eq \f(7,25)．
∵θ是第四象限角，∴sinθ＜0，csθ＞0，
∴sinθ－csθ＝－eq \r(1－2sinθcsθ)＝－eq \f(4\r(2),5) ②，
由①②得sinθ＝－eq \f(\r(2),10)，csθ＝eq \f(7\r(2),10)，∴tanθ＝－eq \f(1,7)，
∴tanθ－eq \f(π,4)＝eq \f(tanθ－1,1＋tanθ)＝－eq \f(4,3)．
解法二：∵θ＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)－θ＝eq \f(π,2)，∴sinθ＋eq \f(π,4)＝cseq \f(π,4)－θ＝eq \f(3,5)，
又2kπ－eq \f(π,2)＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－eq \f(π,4)＜θ＋eq \f(π,4)＜2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
∴csθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)，∴sineq \f(π,4)－θ＝eq \f(4,5)，∴taneq \f(π,4)－θ＝eq \f(sin\f(π,4)－θ,cs\f(π,4)－θ)＝eq \f(4,3)，
∴tanθ－eq \f(π,4)＝－taneq \f(π,4)－θ＝－eq \f(4,3)．
解法三：∵θ是第四象限角，
∴2kπ－eq \f(π,2)＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－eq \f(π,4)＜θ＋eq \f(π,4)＜2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
又sinθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(3,5)，∴csθ＋eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)，
∴tanθ－eq \f(π,4)＝eq \f(tanθ－1,tanθ＋1)＝eq \f(sinθ－csθ,sinθ＋csθ)＝eq \f(－cs\f(π,4)＋θ,sin\f(π,4)＋θ)＝eq \f(－\f(4,5),\f(3,5))＝－eq \f(4,3)．
三、模拟小题
13．若α∈eq \f(π,2)，π，且3cs2α＝sineq \f(π,4)－α，则sin2α的值为( )
A．－eq \f(1,18) B．eq \f(1,18) C．－eq \f(17,18) D．eq \f(17,18)
答案 C
解析 由3cs2α＝sineq \f(π,4)－α可得3(cs2α－sin2α)＝
eq \f(\r(2),2)(csα－sinα)，又由α∈eq \f(π,2)，π可知csα－sinα≠0，
于是3(csα＋sinα)＝eq \f(\r(2),2)，所以1＋2sinαcsα＝eq \f(1,18)，故sin2α＝－eq \f(17,18)．故选C．
14．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，则β等于( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,12)
答案 A
解析 ∵α为锐角且sinα＝eq \f(4\r(3),7)，∴csα＝eq \f(1,7)．
∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π．又∵cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
∴sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)．∴csβ＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα＝－eq \f(11,14)×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(－11＋60,98)＝eq \f(1,2)．
又∵β为锐角，∴β＝eq \f(π,3)．故选A．
15．设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－eq \f(3,5)，则sin(15°＋α)sin(75°－α)＝( )
A．eq \f(1,10) B．eq \f(\r(2),20) C．－eq \f(1,10) D．－eq \f(\r(2),20)
答案 B
解析 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°．又因为sin(75°＋2α)＝－eq \f(3,5)<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cs(75°＋2α)＝－eq \f(4,5)．
所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cs(15°＋α)＝eq \f(1,2)sin(30°＋2α)
＝eq \f(1,2)sin[(75°＋2α)－45°]＝
eq \f(1,2)[sin(75°＋2α)cs45°－cs(75°＋2α)sin45°]＝eq \f(1,2)×－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),20)，故选B．
16．已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则lg eq \r(5)eq \f(tanα,tanβ)2等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，得sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(1,2)，①
由sin(α－β)＝eq \f(1,3)，得sinαcsβ－csαsinβ＝eq \f(1,3)，②
由①②可得sinαcsβ＝eq \f(5,12)，csαsinβ＝eq \f(1,12)．所以eq \f(tanα,tanβ)＝eq \f(sinαcsβ,csαsinβ)＝eq \f(\f(5,12),\f(1,12))＝5．
所以lg eq \r(5)eq \f(tanα,tanβ)2＝lg eq \r(5)25＝4，故选C．
17．已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋eq \f(π,6)与β的终边相同，则eq \f(b,a)的值为( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(\r(3),4)
答案 B
解析 已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，
即b(1＋tanαtanβ)＝a(tanβ－tanα)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(tanβ－tanα,1＋tanαtanβ)＝tan(β－α)，
又∵α＋eq \f(π,6)与β的终边相同，即β＝2kπ＋α＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴tan(β－α)＝tan2kπ＋eq \f(π,6)＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，即eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，故选B．
18．已知3π<θ<4π，且eq \r(\f(1＋csθ,2))＋eq \r(\f(1－csθ,2))＝eq \f(\r(6),2)，则θ＝( )
A．eq \f(10π,3)或eq \f(11π,3) B．eq \f(37π,12)或eq \f(47π,12) C．eq \f(13π,4)或eq \f(15π,4) D．eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)
答案 D
解析 ∵3π<θ<4π，∴eq \f(3π,2)0，sineq \f(θ,2)<0，
∴eq \r(\f(1＋csθ,2))＋eq \r(\f(1－csθ,2))＝eq \r(cs2\f(θ,2))＋eq \r(sin2\f(θ,2))＝cseq \f(θ,2)－sineq \f(θ,2)
＝eq \r(2)cseq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(\r(6),2)，∴cseq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)＋2kπ，
k∈Z或eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝－eq \f(π,6)＋4kπ，k∈Z或θ＝－eq \f(5π,6)＋4kπ，k∈Z，
又∵3π<θ<4π，∴θ＝eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)．故选D．
一、高考大题
1．已知tanα＝2．
(1)求tanα＋eq \f(π,4)的值；
(2)求eq \f(sin2α,sin2α＋sinαcsα－cs2α－1)的值．
解 (1)因为tanα＝2，
所以tanα＋eq \f(π,4)＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanα·tan\f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3．
(2)因为tanα＝2，
所以eq \f(sin2α,sin2α＋sinαcsα－cs2α－1)
＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋sinαcsα－cs2α＋1)
＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋sinαcsα－2cs2α)
＝eq \f(2tanα,tan2α＋tanα－2)＝eq \f(2×2,22＋2－2)＝1．
二、模拟大题
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，eq \r(3))．
(1)求sin2α－tanα的值；
(2)若函数f(x)＝cs(x－α)csα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2f2(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的取值范围．
解 (1)∵角α的终边经过点P(－3，eq \r(3))，
∴sinα＝eq \f(1,2)，csα＝－eq \f(\r(3),2)，tanα＝－eq \f(\r(3),3)．
∴sin2α－tanα＝2sinαcsα－tanα＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),6)．
(2)∵f(x)＝cs(x－α)csα－sin(x－α)sinα＝csx，x∈R，
∴g(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2cs2x＝eq \r(3)sin2x－1－cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1，
∵0≤x≤eq \f(2π,3)，∴－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)．∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，
∴－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1≤1，
故函数g(x)＝eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2f2(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的取值范围是[－2,1]．
3．已知函数f(x)＝csx·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))＋eq \f(\r(3),4)．
(1)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(5π,12)))＝eq \f(3,10)，0<θ(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))的单调增区间．
解 f(x)＝csxeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))＋eq \f(\r(3),4)
＝csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx－\r(3)csx))＋eq \f(\r(3),4)＝csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)csx))＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,2)sinxcsx－eq \f(\r(3),2)cs2x＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(1,4)sin2x－eq \f(\r(3),4)cs2x－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,4)sin2x－eq \f(\r(3),4)cs2x＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))．
(1)由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(5π,12)))＝eq \f(3,10)，所以eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(5π,6)－\f(π,3)))＝eq \f(3,10)，
即eq \f(1,2)csθ＝eq \f(3,10)，所以csθ＝eq \f(3,5)．
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(4,5)，从而tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝eq \f(4,3)．
(2)f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．
又g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
令2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,6)，k∈Z，
故g(x)的单调增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．
4．已知函数f(x)＝sineq \f(5π,6)－2x－2sinx－eq \f(π,4)csx＋eq \f(3π,4)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈eq \f(π,12)，eq \f(π,3)，且F(x)＝－4λf(x)－cs4x－eq \f(π,3)的最小值是－eq \f(3,2)，求实数λ的值．
解 (1)∵f(x)＝sineq \f(5π,6)－2x－2sinx－eq \f(π,4)csx＋eq \f(3π,4)
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－csx)(sinx＋csx)
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋sin2x－cs2x
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x－cs2x
＝sin2x－eq \f(π,6)，
∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得
kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．
(2)F(x)＝－4λf(x)－cs4x－eq \f(π,3)
＝－4λsin2x－eq \f(π,6)－1－2sin22x－eq \f(π,6)
＝2sin22x－eq \f(π,6)－4λsin2x－eq \f(π,6)－1
＝2sin2x－eq \f(π,6)－λ2－1－2λ2．
∵x∈eq \f(π,12)，eq \f(π,3)，∴0≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)，∴0≤sin2x－eq \f(π,6)≤1．
①当λ<0时，当且仅当sin2x－eq \f(π,6)＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin2x－eq \f(π,6)＝λ时，f(x)取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－eq \f(3,2)，解得λ＝－eq \f(1,2)(舍去)或λ＝eq \f(1,2)；
③当λ>1时，当且仅当sin2x－eq \f(π,6)＝1时，f(x)取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－eq \f(3,2)，解得λ＝eq \f(5,8)，这与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝eq \f(1,2)．