高考数学(文数)一轮复习考点测试24《解三角形的应用》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试24《解三角形的应用》（教师版），共14页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

一、基础小题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是( )
A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
答案 B
解析 根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．
2．在△ABC中，若A，B，C成等差数列，且AC＝eq \r(6)，BC＝2，则A＝( )
A．135° B．45° C．30° D．45°或135°
答案 B
解析 因为A，B，C成等差数列，所以B＝60°．由正弦定理，得eq \f(2,sinA)＝eq \f(\r(6),sin60°)，
则sinA＝eq \f(\r(2),2)．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45°．故选B．
3．海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝3eq \r(2)，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为( )
A．3eq \r(10) B．eq \r(10) C．eq \r(13) D．3eq \r(2)
答案 B
解析 由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，
设BD＝t．由余弦定理可得BC2＝62＋(3eq \r(2))2－2×6×3eq \r(2)cs∠BAC＝90，解得BC＝3eq \r(10)．
由cs∠ABC＝eq \f(3,t)＝eq \f(62＋3\r(10)2－3\r(2)2,2×6×3\r(10))，解得t＝eq \r(10)．故选B．
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A．eq \f(17\r(6),2)海里/小时 B．34eq \r(6)海里/小时
C．eq \f(17\r(2),2)海里/小时 D．34eq \r(2)海里/小时
答案 A
解析 如图所示，在△PMN中，eq \f(PM,sin45°)＝eq \f(MN,sin120°)，∴MN＝eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34eq \r(6)．
∴v＝eq \f(MN,4)＝eq \f(17\r(6),2)(海里/小时)．故选A．
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若eq \f(sinA,a)＝eq \f(csB,b)＝eq \f(csC,c)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有一个角为30°的直角三角形
D．有一个角为30°的等腰三角形
答案 B
解析 由正弦定理，得eq \f(sinA,a)＝eq \f(sinB,b)＝eq \f(sinC,c)，又eq \f(sinA,a)＝eq \f(csB,b)＝eq \f(csC,c)，两式相除，
得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45°．所以A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形．故选B．
6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案 D
解析 由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．
7．一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶30eq \r(3)海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．
答案 70
解析 依题意画出图形，连接AN，则在△AMN中，
应用余弦定理可得AN2＝502＋802－2×50×80×cs60°，即AN＝70．
应用余弦定理可得cs∠ANM＝eq \f(502＋702－802,2×50×70)＝eq \f(1,7)，所以sin∠ANM＝eq \f(4\r(3),7)．
在△ANB中，应用余弦定理可得AB2＝(30eq \r(3))2＋702－2×30eq \r(3)×70×cs∠ANB，
而cs∠ANB＝cs(150°－∠ANM)＝cs150°cs∠ANM＋sin150°·sin∠ANM＝eq \f(3\r(3),14)，
所以AB＝eq \r(30\r(3)2＋702－2×30\r(3)×70×\f(3\r(3),14))＝70．
8．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m．
答案 10(3－eq \r(3))
解析 由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝eq \f(AB,cs15°)，
所以AD＝eq \f(AEsin45°,sin30°)＝eq \f(\r(2)AB,cs15°)，
因此CD＝ADsin60°＝eq \f(\r(2)×10,cs45°－30°)×sin60°＝10(3－eq \r(3))．
二、高考小题
9．在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，BC边上的高等于eq \f(1,3)BC，则csA＝( )
A．eq \f(3\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(\r(10),10) D．－eq \f(3\r(10),10)
答案 C
解析 解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝eq \f(1,3)BC，
则CD＝eq \f(2,3)BC，AB＝eq \f(\r(2),3)BC，AC＝eq \f(\r(5),3)BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，
cs∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(\f(2,9)BC2＋\f(5,9)BC2－BC2,2×\f(\r(2),3)BC×\f(\r(5),3)BC)＝－eq \f(\r(10),10)．故选C．
解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝eq \f(1,3)BC，则CD＝eq \f(2,3)BC，
在Rt△ADC中，AC＝eq \f(\r(5),3)BC，sin∠DAC＝eq \f(2\r(5),5)，cs∠DAC＝eq \f(\r(5),5)，又因为∠B＝eq \f(π,4)，
所以cs∠BAC＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠DAC＋\f(π,4)))＝cs∠DAC·cseq \f(π,4)－sin∠DAC·sineq \f(π,4)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(10),10)．故选C．
10．若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝____；eq \f(c,a)的取值范围是_____．
答案 eq \f(π,3) (2，＋∞)
解析 依题意有eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)＝eq \f(\r(3),4)×2accsB，则tanB＝eq \r(3)，
∵00，∴0