高考数学(文数)一轮复习考点测试35《基本不等式》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试35《基本不等式》（教师版），共9页。试卷主要包含了了解基本不等式的证明过程等内容，欢迎下载使用。
eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度)
考纲研读
1.了解基本不等式的证明过程
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
一、基础小题
1．“a>0且b>0”是“eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a>0且b>0⇒eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，但eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)eq \(\s\up7(⇒),\s\d5(/))a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0.
2．已知02)的最小值为6，则正数m的值为________．
答案 4
解析 由x>2，知x－2>0，又m>0，则y＝(x－2)＋eq \f(m,x－2)＋2≥2eq \r(x－2\f(m,x－2))＋2＝2eq \r(m)＋2，取等号的条件为x－2＝eq \f(m,x－2).从而依题意可知2eq \r(m)＋2＝6，解得m＝4.
23．设x>0，y>0，且x－eq \f(1,y)2＝eq \f(16y,x)，则当x＋eq \f(1,y)取最小值时，x2＋eq \f(1,y2)＝________.
答案 12
解析 ∵x>0，y>0，∴当x＋eq \f(1,y)取最小值时，x＋eq \f(1,y)2取得最小值，∵x＋eq \f(1,y)2＝x2＋eq \f(1,y2)＋eq \f(2x,y)，
又x－eq \f(1,y)2＝eq \f(16y,x)，∴x2＋eq \f(1,y2)＝eq \f(2x,y)＋eq \f(16y,x)，∴x＋eq \f(1,y)2＝eq \f(4x,y)＋eq \f(16y,x)≥2eq \r(\f(4x,y)·\f(16y,x))＝16，∴x＋eq \f(1,y)≥4，
当且仅当eq \f(4x,y)＝eq \f(16y,x)，即x＝2y时取等号，∴当x＋eq \f(1,y)取最小值时，x＝2y，x2＋eq \f(1,y2)＋eq \f(2x,y)＝16，
∴x2＋eq \f(1,y2)＋eq \f(2×2y,y)＝16，∴x2＋eq \f(1,y2)＝16－4＝12.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.
(1)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值；
(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．
解 (1)因为eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(x＋y,xy)＝eq \f(x2＋y2,xy)≥eq \f(2xy,xy)＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为2.
(2)不存在．理由如下：因为x2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
从而有(x＋1)(y＋1)≤eq \f(x＋1＋y＋1,2)2≤4，
因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.
2．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
解 (1)设需要修建k个增压站，
则(k＋1)x＝240，即k＝eq \f(240,x)－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(240,x)－1))＋eq \f(240,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋x))＝eq \f(96000,x)＋240x－160.
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0