高考数学(文数)一轮复习考点测试38《空间几何体的结构特征及三视图和直观图》（教师版）

第六章　立体几何

考点测试38　空间几何体的结构特征及三视图和直观图

高考概览

考纲研读

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图

一、基础小题

1．三视图如图所示的几何体是(　　)

A．三棱锥  B．四棱锥         C．四棱台  D．三棱台

答案　B

解析　由三视图可作几何体如图，可知选B.

2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(　　)

A．球的三视图总是三个全等的圆

B．正方体的三视图总是三个全等的正方形

C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

答案　A

解析　画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．

3．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如右图所示的几何体，则它的俯视图是(　　)

答案　B

解析　俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.

4．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为(　　)

A．4 cm2  B．4 cm2         C．8 cm2  D．8 cm2

答案　C

解析　依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.

5．给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　A

解析　①错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

6．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)

A．三棱锥  B．三棱柱     C．四棱锥  D．四棱柱

答案　B

解析　由三视图可知该几何体应为横向放置的三棱柱(如图所示)．故选B.

7．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)

答案　D

解析　A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D.

8．将正方体(如图a所示)截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)

答案　B

解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．

9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　D

解析　由题意知，三棱锥放置在长方体中如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形．故选D.

10．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)

A．①和③  B．③和①  C．④和③  D．④和②

答案　D

解析　由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)，且内有一条虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影，是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.

11．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　　)

A.a2  B．2a2  C.a2  D.a2

答案　B

解析　根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于＝2a2.故选B.

12．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．

答案　2

解析　由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为，所以正视图的面积为2.

二、高考小题

13．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

答案　A

解析　观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.

14．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2  B．2  C．3  D．2

答案　B

解析　根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为＝2，故选B.

15．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　由三视图得四棱锥的直观图如图所示．

其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.

由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB⊂底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，

故△SDC，△SDA为直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD⊂平面SAD，AD∩SD＝D，

∴AB⊥平面SAD，又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，

从而SB＝＝3，又BC＝＝.SC＝2，∴BC2＋SC2≠SB2，

∴△SBC不是直角三角形，故选C.

16．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)

A．10  B．12  C．14  D．16

答案　B

解析　由多面体的三视图还原直观图如图．

该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1构成，

其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×＝12.故选B.

17．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A．3  B．2  C．2  D．2

答案　B

解析　根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P－ABCD)如图所示，

将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，

PD＝＝2.故选B.

18．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)

答案　B

解析　由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此它的俯视图应排除A，C，D，经验证B符合题意，故选B．

三、模拟小题

19．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)

答案　C

解析　∵该几何体的体积为，且由题意知高为1，故底面积为，结合选项知选C．

20．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：

其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为(　　)

A．5  B．4  C．3  D．2

答案　B

解析　由题知可以作为该几何体俯视图的图形为①②③⑤，故选B．

21．已知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形，给出下列4个图形：

其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是(　　)

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

答案　D

解析　符合题意的几何体可以是如下几何体：

由此可知选D．

22．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为(　　)

答案　A

解析　依题意，截后的多面体如图所示，其中F为棱B1C1的中点，故选A．

23．一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是(　　)

A．①②B．①③C．③④D．②④

答案　D

解析　由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④．而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D．

24．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知侧棱AA′⊥底面A′B′C′，且△A′B′C′是正三角形，若点P是上底面ABC内的任意一点，则三棱锥P－A′B′C′的正视图与侧视图的面积之比为(注：以垂直于平面ACC′A′的方向为正视图方向)(　　)

A．B．      C．1  D．

答案　D

解析　过点P作AC的垂线交AC于P′，则P′为P在平面ACC′A′上的投影．

取A′C′的中点B″，则B″为B′在平面ACC′A′上的投影．

由此得正视图与侧视图如图所示．设底面边长为a，AA′＝b．

则S正＝ab，S侧＝×a×b＝ab，故＝＝．

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．

(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1？如何组拼？试证明你的结论．

解　(1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1＝6，故所求体积是V＝×62×6＝72．

(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示．

证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，

于是VC1－ABCD＝VC1－ABB1A1＝VC1－AA1D1D，故所拼图形成立．

2．一个多面体的三视图和直观图如图1、图2所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一个动点，且DG＝λDF(0<λ≤1)．

(1)求证：对任意的λ∈(0,1)，都有GN⊥AC；

(2)当λ＝时，求证：AG∥平面FMC．

证明　(1)由三视图与直观图，知该几何体是一个直三棱柱，CD⊥DF，AD⊥DF，AD⊥CD，且DF＝AD＝DC．

如图，连接BD，则AC⊥BD，且N为AC与BD的交点．

由题意知FD⊥平面ABCD，

又G是FD上的一点，

∴GD⊥平面ABCD，

又AC⊂平面ABCD，

∴GD⊥AC．

由AC⊥BD，GD⊥AC及BD∩GD＝D，

知AC⊥平面GDN，

又GN⊂平面GDN，∴AC⊥GN．

(2)当λ＝时，G是DF的中点，取DC的中点S，连接AS，GS，如图所示．

∵M是AB的中点，

∴AS∥MC，GS∥FC，且AS∩GS＝S，

MC∩FC＝C，

∴平面AGS∥平面FMC，又AG⊂平面AGS，

∴AG∥平面FMC．