高考数学(文数)一轮复习考点测试43《直线的方程》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试43《直线的方程》（教师版），共8页。试卷主要包含了掌握确定直线位置的几何要素，在下列四个命题中，正确的有等内容，欢迎下载使用。

高考概览
eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度)
考纲研读
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直
3．掌握确定直线位置的几何要素
4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系
一、基础小题
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－eq \f(3,2) B．m≠0 C．m≠0且m≠1 D．m≠1
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2＋m－3＝0，,m2－m＝0，))解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
2．直线xsineq \f(π,7)＋ycseq \f(π,7)＝0的倾斜角α是( )
A．－eq \f(π,7) B．eq \f(π,7) C．eq \f(5π,7) D．eq \f(6π,7)
答案 D
解析 ∵tanα＝－eq \f(sin\f(π,7),cs\f(π,7))＝－taneq \f(π,7)＝taneq \f(6π,7)，α∈[0，π)，∴α＝eq \f(6π,7)．
3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A．eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0 B．eq \r(3)x－3y－6＋eq \r(3)＝0
C．eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0 D．eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0
答案 A
解析 ∵k＝tan30°＝eq \f(\r(3),3)，∴直线方程为y－2＝eq \f(\r(3),3)(x＋1)．即eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0．
故选A．
4．已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值为( )
A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2
答案 C
解析 由题意可得，(k－3)×2(k－3)＋(5－k)×(－2)＝0，整理得k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4．故选C．
5．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1答案 D
解析 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以06．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－eq \f(C,A)>0，在y轴上的截距－eq \f(C,B)>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．
7．在平面直角坐标系中，直线l与直线eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0关于x轴对称，则直线l的倾斜角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)
答案 B
解析 直线的斜截式方程为y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)，即直线的斜率k＝tanα＝－eq \r(3)，
即α＝eq \f(2π,3)，所以直线l的倾斜角为eq \f(π,3)，故选B．
8．在下列四个命题中，正确的有( )
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；
③若一直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
④若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析 当倾斜角α＝90°时，其斜率不存在，故①④不正确；直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)，故②不正确；直线的斜率k＝tan210°这是可以的，此时倾斜角α＝30°而不是210°，故③不正确．故选A．
9．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．0，eq \f(π,4) B．eq \f(3π,4)，π C．0，eq \f(π,4)∪eq \f(π,2)，π D．eq \f(π,4)，eq \f(π,2)∪eq \f(3π,4)，π
答案 B
解析 ∵直线的斜率k＝－eq \f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0，则倾斜角的取值范围是eq \f(3π,4)，π．
10．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－3))
答案 D
解析 ∵当m变动时，(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，
∴x＝－eq \f(1,2)，y＝－3，定点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－3))．故选D．
11．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(5,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(4,3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
答案 B
解析 直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，
∵kMA＝eq \f(3－－2,－2－0)＝－eq \f(5,2)，kMB＝eq \f(2－－2,3－0)＝eq \f(4,3)，画图可知－a>－eq \f(5,2)且－a12．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________．
答案 1或－2
解析 显然a＝0不符合题意，当a≠0时，令x＝0，则直线l在y轴上的截距为2＋a；
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋eq \f(2,a)．依题意2＋a＝1＋eq \f(2,a)，解得a＝1或a＝－2．
二、高考小题
13．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
答案 (2,4)
解析 由已知得kAC＝eq \f(6－2,3－1)＝2，kBD＝eq \f(5－－1,1－7)＝－1，
所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，①
直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，②
联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4.))所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4)，此点即为所求点．
因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|，取异于P点的任一点P′．
则|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D|＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|)
>|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|．
故P点就是到点A，B，C，D的距离之和最小的点．故应填(2,4)．
14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
答案 5
解析 易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
∴|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时取“＝”)．
三、模拟小题
15．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，
即eq \f(2a－a－1,3－1＋a)<0，即eq \f(a－1,2＋a)<0，解得－216．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
答案 B
解析 当a，b≠0时，两直线在x轴上的截距符号相同，故选B．
17．已知直线l的斜率为k(k≠0)，它在x轴，y轴上的截距分别为k,2k，则直线l的方程为( )
A．2x－y－4＝0 B．2x－y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．2x＋y＋4＝0
答案 D
解析 依题意得直线l过点(k,0)和(0,2k)，所以其斜率k＝eq \f(2k－0,0－k)＝－2，
由点斜式得直线l的方程为y＝－2(x＋2)，化为一般式是2x＋y＋4＝0．故选D．
18．设点P是曲线y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一点，P点处切线的倾斜角α的取值范围是( )
A．0，eq \f(π,2)∪eq \f(5π,6)，π B．eq \f(2π,3)，π C．0，eq \f(π,2)∪eq \f(2π,3)，π D．eq \f(π,2)，eq \f(5π,6)
答案 C
解析 因为y′＝3x2－eq \r(3)≥－eq \r(3)，即切线斜率k≥－eq \r(3)，
所以切线倾斜角α的取值范围是0，eq \f(π,2)∪eq \f(2π,3)，π．
19．直线l过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．0，eq \f(1,2) B．[0,1] C．[0,2] D．0，eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为直线l过点A(1,2)，且不经过第四象限，作出图象，
如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l过A且平行于x轴时，斜率取得最小值，kmin＝0；当直线l过A(1,2)，O(0,0)时，斜率取得最大值，kmax＝2，所以直线l的斜率的取值范围是[0,2]．故选C．
20．若θ是直线l的倾斜角，且sinθ＋csθ＝eq \f(\r(5),5)，则l的斜率为( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)或－2 C．eq \f(1,2)或2 D．－2
答案 D
解析 ∵sinθ＋csθ＝eq \f(\r(5),5)， ①
∴(sinθ＋csθ)2＝1＋sin2θ＝eq \f(1,5)，∴2sinθcsθ＝－eq \f(4,5)，∴(sinθ－csθ)2＝eq \f(9,5)，
易知sinθ>0，csθ<0，∴sinθ－csθ＝eq \f(3\r(5),5)， ②
由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(2\r(5),5)，,csθ＝－\f(\r(5),5)，))∴tanθ＝－2，即l的斜率为－2，故选D．
21．已知经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________．
答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
解析 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝eq \f(2,3)x，即2x－3y＝0．若a≠0，则设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
∵l过点(3,2)，∴eq \f(3,a)＋eq \f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0．
22．已知直线y＝eq \f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k．故直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)|k|·|－2k|＝k2．由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以实数k的取值范围是k≥1或k≤－1．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的方程．
解 (1)设点C的坐标为(x，y)，则有
eq \f(x＋5,2)＝0，eq \f(3＋y,2)＝0．∴x＝－5，y＝－3，
即点C的坐标为(－5，－3)．
(2)由题意知，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，
∴直线MN的方程为x－eq \f(y,\f(5,2))＝1，即5x－2y－5＝0．
2．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A，B两点．
(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
解 依题意，l的斜率存在，且斜率为负．
设l：y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,k)，0))；令x＝0，可得B(0,4－k)．
(1)|PA|·|PB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)))2＋16)·eq \r(1＋k2)
＝－eq \f(4,k)(1＋k2)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)＋k))≥8．(注意k<0)
∴当且仅当eq \f(1,k)＝k且k<0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．
这时l的方程为x＋y－5＝0．
(2)|OA|＋|OB|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,k)))＋(4－k)＝5－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(4,k)))≥9．
∴当且仅当k＝eq \f(4,k)且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时l的方程为2x＋y－6＝0．
3．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时直线l的方程．
解 (1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，
此时a＋2＝0，解得a＝－2，
此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；
当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，
由直线在两坐标轴上的截距相等可得eq \f(2＋a,a＋1)＝2＋a，解得a＝0，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0．
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0．
(2)由直线方程可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋a,a＋1)，0))，N(0,2＋a)，
因为a>－1，
所以S△OMN＝eq \f(1,2)·eq \f(2＋a,a＋1)·(2＋a)＝eq \f(1,2)×eq \f([a＋1＋1]2,a＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a＋1＋\f(1,a＋1)＋2))
≥eq \f(1,2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2 \r(a＋1·\f(1,a＋1))＋2))＝2，当且仅当a＋1＝eq \f(1,a＋1)，即a＝0时等号成立．
此时直线l的方程为x＋y－2＝0．
4．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，求AP的长？
解 以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，
由题意可知B(4,0)，C(0，4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，
设P(t,0)(0由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4－t)，
点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，
根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．
由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝eq \f(4－t,4＋t)·(x＋t)，
设△ABC的重心为G，易知Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)))．
因为重心Geq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1())eq \f(4,3)，eq \f(4,3)eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1())在光线RQ上，所以有eq \f(4,3)＝eq \f(4－t,4＋t)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)＋t))，即3t2－4t＝0，
所以t＝0或t＝eq \f(4,3)，因为0