高考数学(文数)一轮复习考点测试45《圆与方程》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试45《圆与方程》（教师版），共13页。试卷主要包含了故选D，过点M的直线l与圆C等内容，欢迎下载使用。
考纲研读
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程
2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想
一、基础小题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq \r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．故选A．
2．若点P(1,1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
答案 D
解析 圆心C(3,0)，kPC＝－eq \f(1,2)，则kMN＝2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0．故选D．
3．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为O1(1,0)，半径r1＝1；圆O2：x2＋y2－4y＝0的圆心为O2(0,2)，半径r2＝2．由于10)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)．
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2)．
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1．
因此l的方程为y＝x－1．
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5．
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,x0＋12＝\f(y0－x0＋12,2)＋16，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
2．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解 (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4．
又x1＝eq \f(y\\al(2,1),2)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),2)，故x1x2＝eq \f(y1y22,4)＝4．
因此OA的斜率与OB的斜率之积为eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(－4,4)＝－1，所以OA⊥OB，
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝eq \r(m2＋22＋m2)．
由于圆M过点P(4，－2)，因此eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0．
由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq \f(1,2)．
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，
圆M的半径为eq \r(10)，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10．
当m＝－eq \f(1,2)时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圆M的半径为eq \f(\r(85),4)，
圆M的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＝eq \f(85,16)．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得eq \(TA,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(TQ,\s\up6(→))，求实数t的取值范围．
解 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5．
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以00，
即1＋k2>m2，则x1＋x2＝－eq \f(2km,1＋k2)，x1x2＝eq \f(m2－1,1＋k2)，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(k2m2－1,1＋k2)－eq \f(2k2m2,1＋k2)＋m2＝eq \f(m2－k2,1＋k2)，
又OP⊥OQ，所以eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝eq \f(m2－1,1＋k2)＋eq \f(m2－k2,1＋k2)＝0，
故2m2＝1＋k2，满足Δ>0，符合题意．
因为直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋(y－4)2＝eq \f(1,2)相切，
所以圆心C(0，4)到直线l的距离d＝eq \f(|m－4|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(2),2)，即m2－8m＋16＝eq \f(1＋k2,2)，
故m2－8m＋16＝m2，解得m＝2，故1＋k2＝2×22，得k＝±eq \r(7)．
故直线l的方程为y＝±eq \r(7)x＋2．
综上，直线l的方程为x＝±eq \f(\r(2),2)或y＝±eq \r(7)x＋2．