高考数学(文数)一轮复习考点测试55《坐标系与参数方程》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试55《坐标系与参数方程》（教师版），共10页。试卷主要包含了了解参数方程，了解参数的意义等内容，欢迎下载使用。
eq \a\vs4\al(本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值10分，中等难度)
考纲研读
1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况
2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化
3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程
4．了解参数方程，了解参数的意义
5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程
一、基础小题
1．参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3t2＋2，,y＝t2－1))(0≤t≤5)的曲线为( )
A．线段 B．双曲线的一支 C．圆弧 D．射线
答案 A
解析 化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2，77]，
故曲线为线段．故选A．
2．直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋tcs30°，,y＝3－tsin60°))(t为参数)的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．90° D．135°
答案 D
解析 将直线参数方程化为普通方程为x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故倾斜角为135°．故选D．
3．在极坐标系中，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是( )
A．ρsinθ＝2 B．ρcsθ＝2 C．ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2 D．ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2
答案 B
解析 ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))化为直角坐标是(2，2)，过(2，2)作圆的切线，其方程为x＝2，即ρcsθ＝2．故选B．
4．在极坐标系中，过圆ρ＝6csθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．
答案 ρcsθ＝3
解析 把ρ＝6csθ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcsθ，所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为ρcsθ＝3．
5．在极坐标系中，直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．
答案 4eq \r(3)
解析 分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x＋y－2eq \r(2)＝0，x2＋y2＝16，则圆心O到直线x＋y－2eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(|－2\r(2)|,\r(2))＝2，半弦长为eq \r(16－4)＝2eq \r(3)，所以弦长为4eq \r(3)．
6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(csθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
答案 (2，－4)
解析 曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝－2，,y2＝8x))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－4，))所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．
二、高考小题
7．在极坐标系中，直线ρcsθ＋ρsinθ＝a(a>0)与圆ρ＝2csθ相切，则a＝________．
答案 1＋eq \r(2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρcsθ＝x，,ρsinθ＝y，,ρ2＝x2＋y2，))可将直线ρcsθ＋ρsinθ＝a化为x＋y－a＝0，将ρ＝2csθ，即ρ2＝2ρcsθ化为x2＋y2＝2x，整理成标准方程为(x－1)2＋y2＝1．又∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线x＋y－a＝0的距离d＝eq \f(|1－a|,\r(2))＝1，解得a＝1±eq \r(2)，∵a>0，∴a＝1＋eq \r(2)．
8．已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋\f(\r(2),2)t，,y＝3－\f(\r(2),2)t))(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由题意可得圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|1＋0－2|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，由弦长公式可得|AB|＝2×eq \r(1－\f(\r(2),2)2)＝eq \r(2)，
则S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2)．
9．在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcsθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________．
答案 1
解析 由ρ2－2ρcsθ－4ρsinθ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圆心坐标为C(1，2)，半径长为1．∵点P的坐标为(1，0)，∴点P在圆C外．
又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1．
10．在极坐标系中，直线4ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．
答案 2
解析 由4ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＋1＝0得2eq \r(3)ρcsθ＋2ρsinθ＋1＝0，
故直线的直角坐标方程为2eq \r(3)x＋2y＋1＝0．由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，
故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1．圆心为(0，1)，半径为1．
∵圆心到直线2eq \r(3)x＋2y＋1＝0的距离d＝eq \f(|2×1＋1|,\r(2\r(3)2＋22))＝eq \f(3,4)＜1，
∴直线与圆相交，有两个公共点．
三、模拟小题
11．下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2csθ相切的是( )
A．ρcsθ＝1 B．ρsinθ＝1 C．ρcsθ＝2 D．ρsinθ＝2
答案 B
解析 由ρ＝2csθ得ρ2＝2ρcsθ，即x2＋y2＝2x，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1．与x轴平行且与圆相切的直线方程为y＝1或y＝－1，则极坐标方程为ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以选B．
12．已知圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋csα，,y＝1＋sinα))(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,5) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,5)
答案 D
解析 ⊙C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1，1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝eq \f(1,5)，∴k＝－eq \f(1,5)．选D．
一、高考大题
1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcsθ－3＝0．
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解 (1)由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4．
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx＋2，x≥0，,－kx＋2，x0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，
即t1＝2t2或t1＝－2t2，
当t1＝2t2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t1＝2t2，,t1＋t2＝2\r(2)，,t1·t2＝21－4a，))解得a＝eq \f(1,36)；
当t1＝－2t2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t1＝－2t2，,t1＋t2＝2\r(2)，,t1·t2＝21－4a，))解得a＝eq \f(9,4)，
综上，a＝eq \f(1,36)或eq \f(9,4)．
10．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝eq \f(24,4csθ＋3sinθ)，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ))(θ为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
(2)将曲线C2经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2\r(2)x，,y′＝2y))后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．
解 (1)∵C1的极坐标方程是ρ＝eq \f(24,4csθ＋3sinθ)，
∴4ρcsθ＋3ρsinθ＝24，
∴4x＋3y－24＝0，
故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0．
∵曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ，))∴x2＋y2＝1，
故C2的普通方程为x2＋y2＝1．
(2)将曲线C2经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2\r(2)x，,y′＝2y))后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2\r(2)csα，,y′＝2sinα))(α为参数)．设N(2eq \r(2)csα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离d＝eq \f(|4×2\r(2)csα＋3×2sinα－24|,5)
＝eq \f(|2\r(41)sinα＋φ－24|,5)
＝eq \f(24－2\r(41)sinα＋φ,5)其中φ满足tanφ＝eq \f(4\r(2),3)．
当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值eq \f(24－2\r(41),5)，
所以|MN|的最小值为eq \f(24－2\r(41),5)．