2021-2022学年山东省德州市庆云县九年级（上）期末数学试卷 解析版

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2021-2022学年山东省德州市庆云县九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是（　　）
A．投掷硬币正面朝上是不可能事件
B．投掷硬币正面朝下的概率为1
C．投掷硬币正面朝上是随机事件
D．继续第4次投掷一定是正面朝下
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象分布在二、四象限
B．它的图象关于原点成中心对称
C．点（﹣5，1）在它的图象上
D．当x1＞x2时，y1＜y2
5．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
6．（4分）已知在同一直角坐标系中二次函数y＝mx2+nx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣n的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
7．（4分）某校前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（　　）
A．20（1+2x）＝36 B．20（1+x2）＝36
C．20（1+x） 2＝36 D．20（1+x）+20（1+x） 2＝36
8．（4分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（　　）

A．32° B．34° C．36° D．38°
9．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值为（　　）

A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7
10．（4分）如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．45°
11．（4分）已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝（　　）

A．12 B．20 C． D．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝6S△BDF，其中正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
14．（4分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为　 　．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为　 　．

16．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1　 　y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．
17．（4分）如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为 　 　米．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是 　 　．

三．解答题
19．（8分）（1）解方程：x（2x+3）＝8x+12；
（2）计算：cos260°+sin245°+tan45°﹣sin30°．
20．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 　 　人；扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

21．如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．

22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长

23．（12分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　 　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．

24．（12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC＝　 　；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　 　度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

25．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．


2021-2022学年山东省德州市庆云县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
2．（4分）小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是（　　）
A．投掷硬币正面朝上是不可能事件
B．投掷硬币正面朝下的概率为1
C．投掷硬币正面朝上是随机事件
D．继续第4次投掷一定是正面朝下
【分析】根据概率的含义即可得出答案．
【解答】解：∵投掷硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，
∴投掷硬币正面朝上是随机事件，
故选：C．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：c＝5，
∴sinB＝＝，
故选：A．
4．（4分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象分布在二、四象限
B．它的图象关于原点成中心对称
C．点（﹣5，1）在它的图象上
D．当x1＞x2时，y1＜y2
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、∵k＝5＞0，∴图象在第一、三象限，故B说法不正确，不符合题意；
B、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，正确，符合题意；
C、当x＝﹣5时，＝﹣1≠1，说法不正确，不符合题意；
D、当x1＝5，x2＝﹣5时满足x1＞x2，得到y1＜＝1，y2＝﹣10，此时y1＞y2，故原说法不正确，不符合题意；
故选：B．
5．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，然后解不等式求出m的取值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜2．
故实数m的取值范围为是m＜2．
故选：D．
6．（4分）已知在同一直角坐标系中二次函数y＝mx2+nx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣n的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出m＜0、n＞0、a＞0，由此即可得出＜0，﹣n＜0，即可得出一次函数y＝x﹣n的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数开口向下，
∴m＜0；
∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，
∴b符号与a相异，n＞0；
∵反比例函数图象经过一三象限，
∴a＞0，
∴＜0，﹣n＜0，
∴一次函数y＝x﹣n的图象经过二三四象限．
故选：B．
7．（4分）某校前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（　　）
A．20（1+2x）＝36 B．20（1+x2）＝36
C．20（1+x） 2＝36 D．20（1+x）+20（1+x） 2＝36
【分析】是增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“前年用于绿化的投资为20万元，今年用于绿化的投资为36万元”，可得出方程．
【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，
依题意得20（1+x）2＝36．
故选：C．
8．（4分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（　　）

A．32° B．34° C．36° D．38°
【分析】由旋转的性质可得CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出答案．
【解答】解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE，
∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，
∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠CBD＝32°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，
∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值为（　　）

A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，
∴，
∴，
故选：B．
10．（4分）如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC＝20°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝120°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝40°，
故选：C．
11．（4分）已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝（　　）

A．12 B．20 C． D．
【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式即可求得k的值．
【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为．
∴5m•5n＝
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝
∴k＝9mn＝9×＝12．
故选：A．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝6S△BDF，其中正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE，求出相关线段的长；易证△GAB≌△DBC，求出相关线段的长；再证AG∥BC，求出相关线段的长，最后求出△ABC和△BDF的面积，即可作出选择．
【解答】解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
设AB＝BC＝2，则AC＝2，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝1，
在Rt△DBC中，DC＝＝，
∵BG⊥CD，
∴∠DEB＝∠ABC＝90°，
又∵∠CDB＝∠BDE，
∴△CDB∽△BDE，
∴∠DBE＝∠DCB，，即，
∴DE＝，BE＝，
在△GAB和△DBC中，

∴△GAB≌△DBC（ASA）
∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝，
∵∠GAB+∠ABC＝180°，
∴AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，且有AB＝BC，故①正确，
∵GB＝，AC＝2，
∴AF＝＝，故③正确，
GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误，
S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确．
故选：B．
二．填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则m＝　﹣2　．
【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣2，
故答案是：﹣2．
14．（4分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为　9　．
【分析】根据弧长的公式l＝，计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，
由题意得，＝6π，
解得，R＝9，
故答案为：9．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为　4　．

【分析】利用基本作图得到EF垂直平分AB，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出BF＝2，再解直角△BEF，求出EF，进而得出△ABE的面积．
【解答】解：如图，由作法得EF垂直平分AB，即AF＝BF＝AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF•tan∠B＝2，
∴△ABE的面积＝AB•EF＝×4×2＝4．
故答案为：4．

16．（4分）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1　＞　y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．
【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y1与y2的值，然后比较它们的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），
∴y1＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝3+c，y2＝22﹣2×2+c＝c，
∵y1﹣y2＝3＞0，
∴y1＞y2，
故答案是：＞．
17．（4分）如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为 　10　米．

【分析】过点C作CD⊥公路l于点D，证∠ACB＝∠CAB＝30°，得AB＝BC＝20米，再在Rt△BCD中，根据CD＝BCsin∠CBD计算求得CD的长即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥公路l于点D，
则∠ADC＝90°，∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20米，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴BC＝AB＝20米，
在Rt△BCD中，cos∠BCD＝，
∴CD＝BC•cos∠BCD＝20×＝10（米），
故答案为：10．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是 　（﹣，0）　．

【分析】根据旋转的性质及旋转角度分析可得旋转8次为一个周期，然后将2021÷8可得余数，从而分析求解．
【解答】解：∵点A的坐标是（1，1）若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，
∴旋转360°÷45°＝8次为一个变化周期，
2021÷8＝252......5，
∴A2021的坐标与第五次旋转后A5的坐标相同，
如图：

∵A点坐标为（1，1），
∴OA5＝OA＝
∴A5的坐标为（﹣，0），
即A2021的坐标为（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
三．解答题
19．（8分）（1）解方程：x（2x+3）＝8x+12；
（2）计算：cos260°+sin245°+tan45°﹣sin30°．
【分析】（1）先变形为x（2x+3）﹣4（2x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先根据特殊角的三角函数值得到原式＝（）2+（）2+1﹣，然后进行实数的运算．
【解答】解：（1）x（2x+3）﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（x﹣4）＝0，
2x+3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝﹣，x2＝4；
（2）原式＝（）2+（）2+1﹣
＝++1﹣
＝．
20．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 　40　人；扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是 　108°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，再用360°乘以B类别人数所占比例即可；
（2）根据四种类别人数人数之和等于总人数求出C类别人数，即可补全图形；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8种，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%＝40（人），
则扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是360°×＝108°，
故答案为：40，108°；
（2）C类别人数为40﹣（6+12+4）＝18（人），
补全图形如下：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率＝．
21．如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．

【分析】（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，根据题意得到x（38+2﹣2x）＝150，解方程即可得到结论；
（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得到函数关系y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，根据二次函数的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，
根据题意得，x（38+2﹣2x）＝150，
解得：x1＝15，x2＝5，
当x1＝15时，AD＝10，当x2＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），
∴AB＝15；
（2）设仓库的面积为y平方米，
根据题意得，y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵a＝﹣2＜0，38+2﹣2×10＝20＜22，
∴当x＝10时，y最大值＝200，
答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．
22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长

【分析】（1）连接CO，根据角之间的关系证明∠DAC＝∠OCA，进而得到CO∥AD，从而可得CO⊥CD，即DC为⊙O的切线；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，AD⊥CD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．

23．（12分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　当x＝3时函数有最小值y＝1　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．

【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4求b值即可；
（2）利用描点作图法作出图象并写出一条性质即可；
（3）根据图象求出即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，
解得：m＝﹣2，
即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，
当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，
当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3时函数有最小值y＝1；
（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y＝的图象上方时，不等式x+|﹣2x+6|﹣2＞成立，
∴x＜0或x＞4．

24．（12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC＝　3：1　；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　60　度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．

【分析】（1）由旋转与相似的性质，即可得S△AB′C′：S△ABC＝3，然后由△ABN与△B′MN中，∠B＝∠B′，∠ANB＝∠B′NM，可得∠BMB′＝∠BAB′，即可求得直线BC与直线B′C′所夹的锐角的度数；
（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′＝90°，然后由θ＝∠CAC′＝∠BAC′﹣∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值；
（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2＝CB•BB′＝CB（BC+CB′），继而求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC＝（）2＝（）2＝3，∠B＝∠B′，
∵∠ANB＝∠B′NM，
∴∠BMB′＝∠BAB′＝60°；
故答案为：3：1，60；

（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′＝90°．
∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′﹣∠BAC＝90﹣30＝60°．
在 Rt△ABB′中，∠ABB'＝90°，∠BAB′＝60°，
∴∠AB′B＝30°，
∴n＝＝2；

（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC＝36°，
∴θ＝∠CAC′＝∠AC′B′＝72°．
∴∠BB′A＝∠BAC＝36°，而∠B＝∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′＝CB：AB，
∴AB2＝CB•BB′＝CB（BC+CB′），
而 CB′＝AC＝AB＝B′C′，BC＝1，
∴AB2＝1（1+AB），
∴AB＝，
∵AB＞0，
∴n＝＝．

25．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．

【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组，即可得出结论；
（2）①先求出点D坐标，进而求出BC，CD，DB，判断出△BDC是直角三角形，即可得出结论；
②构造出等腰三角形，利用对称性求出点F的坐标，进而求出直线CF的解析式，进而联立抛物线解析式，解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

（2）①如图1，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），当x＝2时，y＝﹣×4+×2+2＝4，
∴D（2，4），
∵B（6，0），
∴CD2＝（2﹣0）2+（4﹣2）2＝8，BC2＝（6﹣0）2+（0﹣2）2＝40，
DB2＝（6﹣2）2+（0﹣4）2＝32，
∴CD2+BC2＝DB2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，CD＝2，BD＝4，
∴cot∠DCB＝＝＝；

②如图2，
过点C作CE∥x轴，则∠BCE＝∠CBO，
∵∠DCB＝2∠CBO，
∴∠DCE＝∠BCE，过点B作BE⊥CE，并延长交CD的延长线于F，
∵C（0，2），B（6，0），
∴F（6，4），设直线CF的解析式为y＝kx+2，
∴6k+2＝4，
∴k＝，
∴直线CF的解析式为y＝x+2①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，
联立①②，解得或，
∴D（4，）．