2021-2022学年重庆市綦江区九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年重庆市綦江区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生进行分析，过程如下等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2＝0B．x＝1C．x+y＝2D．＝2
2．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（4分）如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（1，3）C．（﹣1，3）D．（3，2）
5．（4分）图2是由图1的窗户抽象出来的平面图形，半圆的直径与长方形的宽相等，此平面图形的对称轴与半圆的直径将图形分成四个部分，半圆的圆心点O处有一任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．因为长方形的长未知，所以概率不确定
6．（4分）已知点（﹣1，a）、（2，b）、（3，c）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
7．（4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第99个图形有（ ）个小圆．
A．9888B．9904C．10098D．10100
8．（4分）某市某楼盘准备以6000元/m2的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以4860元/m2的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．11%B．10%C．9%D．8%
9．（4分）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．爷爷比小强先出发20分钟
B．小强爬山的速度是爷爷的2倍
C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况
D．山的高度是480米
10．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝﹣1，且该图象与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，并经过点（﹣2.3，y1）与点（1.5，y2），则下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③y1＜y2；④对于任意实数m，都有am2﹣bm＜a﹣b（m≠1）．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
11．（4分）若关于x的二次函数y＝﹣x2+（2a﹣12）x+1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5B．8C．12D．15
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝3，则k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣C．﹣8D．﹣2
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）将抛物线y＝x2先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，则新的抛物线函数解析式为 ．
14．（4分）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为 ．
15．（4分）在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出两个球，则摸到两个都是白球的概率是 ．
16．（4分）如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 ．
17．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDM．若AE＝2，则MF的长为 ．
18．（4分）为迎接一年一度的“春节”的到来，綦江区某水果店推出了A、B、C三类礼包，已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成，每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和．每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓；每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓．已知每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为30%，每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的；每袋C礼包利润率为25%．若该店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为2：1：5，则当天该水果店销售总利润率为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝4．
（2）x（x﹣3）+x＝3．
20．（10分）计算：
（1）（3+m）（3﹣m）+m（m﹣6）﹣7；
（2）（﹣1）÷．
21．（10分）为迎接中国共产党建党100周年，綦江区某中学组织开展了丰富多彩的系列庆祝活动．学习了解党的历史是其中一项重要的活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有500名学生）的学习效果，该校举行了党史知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
（一）收集数据：
七年级：79，89，78，85，80，81，92，75，80，99，80，84，86，81，80，85，91，
65，88，82．
八年级：97，85，92，87，77，86，99，88，76，88，85，82，80，86，77，82，87，
85，75，46．
（二）整理数据：
（三）分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在80分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对党的知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
22．（10分）某数学兴趣小组在探究函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：
（1）列表（完成下列表格）：a＝ ，b＝ ；
（2）描点并在图中画出函数的大致图象；
（3）根据函数图象，写出函数的一条性质： ；
（4）当不等式（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3＞6时，x的取值范围是 ．
23．（10分）2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元．
（1）若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
（2）该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．
①用含有a的代数式填表（不需化简）：
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．
24．（10分）对于一个四位正整数n，如果n满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那称这个数为“幸运数”．例如：n1＝8455，∵8+4+5﹣5＝12，∴8455是“幸运数”；n2＝2021，∵2+0+2﹣1＝3≠12，∴2021不是“幸运数”．
（1）判断3753，1858是否为“幸运数”？请说明理由．
（2）若“幸运数”m＝1000a+100b+10c+203（4≤a≤8，1≤b≤9，1≤c≤5且a，b，c均为整数），s是m截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t是m截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若s与t的和能被7整除，求m的值．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
（2）如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
（3）如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
2021-2022学年重庆市綦江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2＝0B．x＝1C．x+y＝2D．＝2
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．x2﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4．
故选：B．
3．（4分）如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（1，3）C．（﹣1，3）D．（3，2）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
故选：B．
5．（4分）图2是由图1的窗户抽象出来的平面图形，半圆的直径与长方形的宽相等，此平面图形的对称轴与半圆的直径将图形分成四个部分，半圆的圆心点O处有一任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．因为长方形的长未知，所以概率不确定
【分析】根据圆周角等于360°，结合几何概率的计算公式即可求解．
【解答】解：∵任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，
∴指针指向阴影部分的概率是＝．
故选：A．
6．（4分）已知点（﹣1，a）、（2，b）、（3，c）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
【分析】根据反比例函数k＝xy，可得三个点的k值，再通过横坐标的大小关系，即可得出纵坐标的大小关系．
【解答】解：∵k＝xy，
∴k＝﹣a＝2b＝3c＞0，
∴a＜c＜b．
故选：B．
7．（4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第99个图形有（ ）个小圆．
A．9888B．9904C．10098D．10100
【分析】根据图形的变化归纳出第n个图形有n（n+1）+4个小圆即可．
【解答】解：由图知，
第一个图形有6＝1×2+4个小圆，
第二个图形有10＝2×3+4个小圆，
第三个图形有16＝3×4+4个小圆，
第四个图形有24＝4×5+4个小圆，
…，
第n个图形有n（n+1）+4个小圆，
∴第99个图形有99×（99+1）+4＝9904（个），
故选：B．
8．（4分）某市某楼盘准备以6000元/m2的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以4860元/m2的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．11%B．10%C．9%D．8%
【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1﹣x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2＝4860，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：B．
9．（4分）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．爷爷比小强先出发20分钟
B．小强爬山的速度是爷爷的2倍
C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况
D．山的高度是480米
【分析】根据函数图象中的数据，可以得山的高度是720米；l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况；根据题意和函数图象中的数据，可以求出小强爬山的速度为12米/分，爷爷爬山的速度为6米/分；根据爷爷爬山的速度，结合图象可知爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟）．
【解答】解：由题意得：
山的高度是720米，故选项D不合题意；
l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故选项C不合题意；
小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝6（米/分），所以小强爬山的速度是爷爷的2倍，故选项B符合题意；
爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故选项A不合题意．
故选：B．
10．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝﹣1，且该图象与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，并经过点（﹣2.3，y1）与点（1.5，y2），则下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③y1＜y2；④对于任意实数m，都有am2﹣bm＜a﹣b（m≠1）．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与y轴交点位置可判断①，根据图象与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间可得图象与x轴另一交点位置，从而判断②，根据点（﹣2.3，y1）与点（1.5，y2）与对称轴的距离大小可判断③，由x＝﹣1时函数值最大可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
所以c＞0，
∴abc＞0，①正确．
∵图象与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，对称轴为直线x＝﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点在点（1，0）和（2，0）之间，
∴x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c＞0，②正确．
∵1.5﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2.3），
∴点（﹣2.3，y1）到对称轴的距离小于点（1.5，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，③错误．
∵x＝﹣1时y＝a﹣b+c为函数最大值，
∴m≠1时，﹣m≠﹣1，即am2﹣bm+c＜a﹣b+c，
∴am2﹣bm＜a﹣b，④正确．
故选：D．
11．（4分）若关于x的二次函数y＝﹣x2+（2a﹣12）x+1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5B．8C．12D．15
【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．
【解答】解：解分式方程可得y＝，
∵分式方程的解是正整数，
∴a＞﹣5且a+5是2的倍数，
∵二次函数y＝﹣x2+（2a﹣12）x+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣＝a﹣6，
∴当x＞a+6时，y随x的增大而减小，
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a﹣6≤﹣1，解得a≤5，
综上可知满足条件的a的值为﹣3，﹣1，1，3，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣3﹣1+1+3+5＝5，
故选：A．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝3，则k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣C．﹣8D．﹣2
【分析】设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（，b），点A的坐标为（a，0），分别求出BD、CD、AB，找到a，b，k之间的关系，设点E坐标为（m，n），利用三角形的面积表示出点E的坐标，再利用割补法求出abk＝36，进而可得k值．
【解答】解：设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（，b），点A的坐标为（a，0），
∴BD＝﹣a，BC＝﹣a，CD＝﹣，AB＝b，
∵，
∴5×（﹣a）＝4×（﹣），
∴ab＝k，
设点E坐标为（m，n），
∵S△AOE＝3，即﹣an＝3，
∴n＝﹣，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（﹣，﹣），
∵S△AOE＝S矩形OABC﹣S△OBC﹣S△ABE＝﹣ab﹣（﹣ab）﹣b（﹣﹣a）＝3，
∴abk＝36，
把abk＝36，代入ab＝k得，k2＝36，即k2＝20，
解得k＝±2，
由图象可知，k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）将抛物线y＝x2先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，则新的抛物线函数解析式为 y＝（x+1）2﹣2（或y＝x2+2x﹣1） ．
【分析】根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
【解答】解：由“左加右减，上加下减”知：将抛物线y＝x2先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，则新的抛物线函数解析式为y＝（x+1）2﹣2，或y＝x2+2x﹣1．
故答案是：y＝（x+1）2﹣2（或y＝x2+2x﹣1）．
14．（4分）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为 x（19﹣3x）＝24 ．
【分析】若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（19﹣3x）米，根据围成的大长方形花圃的面积为24平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为（19﹣3x）米，
依题意得：x（19﹣3x）＝24．
故答案为：x（19﹣3x）＝24．
15．（4分）在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出两个球，则摸到两个都是白球的概率是 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得摸到两个都是白球的概率．
【解答】解：树状图如下所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中摸到两个都是白球的可能性有2种，
故摸到两个都是白球的概率是＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 45π ．
【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD＝S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S＝lr来求解．
【解答】解：连接OC，OD，
∵直径AB＝30，
∴OC＝OD＝15，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵长为6π，
∴阴影部分的面积为S阴影＝S扇形OCD＝＝45π，
故答案为：45π．
17．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDM．若AE＝2，则MF的长为 ．
【分析】由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；则可得到AE＝CM＝2，正方形的边长为5，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝7﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为MF的长．
【解答】解：∵△ADE逆时针旋转90°得到△CDM，
∴∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∵∠EDM＝∠EDC+∠CDM＝∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝5，
∴BM＝BC+CM＝5+2＝7，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即32+（7﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴MF＝．
故答案为：．
18．（4分）为迎接一年一度的“春节”的到来，綦江区某水果店推出了A、B、C三类礼包，已知这三类礼包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成，每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和．每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓；每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓．已知每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为30%，每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的；每袋C礼包利润率为25%．若该店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为2：1：5，则当天该水果店销售总利润率为 26% ．
【分析】设苹果、芒果、草莓三种水果的每斤成本分别为x、y、z，根据每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍，得5x+2y+8z＝3×5x，即y+4z＝5x，而每袋A的成本是15x，利润率为30%，可知每袋A的利润为4.5x，又每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的，可得B的利润为2x，成本为10x．每袋C礼包利润率为25%，成本为7x+y+4z＝7x+5x＝12x，可得C的利润是3x，由销售A、B、C三种礼包袋数之比为2：1：5，即得当天该水果店销售总利润率为×100%＝26%．
【解答】解：设苹果、芒果、草莓三种水果的每斤成本分别为x、y、z，
∵每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍，
∴5x+2y+8z＝3×5x，
∴y+4z＝5x，
∵每袋A的成本是15x，利润率为30%，
∴每袋A的利润为4.5x，售价为15x•（1+30%）＝19.5x，
∵每袋B的成本是其售价的，利润是每袋A利润的，
∴B的利润为4.5x×＝2x，售价为2x÷（1﹣）＝12x，成本为10x．
∵每袋C礼包利润率为25%，成本为7x+y+4z＝7x+5x＝12x，
∴C的售价为15x，利润是3x，
∵销售A、B、C三种礼包袋数之比为2：1：5，
∴当天该水果店销售总利润率为×100%＝26%，
故答案为：26%．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）解方程：
（1）（x﹣2）2＝4．
（2）x（x﹣3）+x＝3．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝4，
∴x﹣2＝±2，
所以x1＝4，x2＝0；
（2）∵x（x﹣3）+x＝3，
∴x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
20．（10分）计算：
（1）（3+m）（3﹣m）+m（m﹣6）﹣7；
（2）（﹣1）÷．
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式将式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先对括号内的式子通分，然后再算除法即可．
【解答】解：（1）（3+m）（3﹣m）+m（m﹣6）﹣7
＝9﹣m2+m2﹣6m﹣7
＝﹣6m+2；
（2）（﹣1）÷
＝•
＝
＝．
21．（10分）为迎接中国共产党建党100周年，綦江区某中学组织开展了丰富多彩的系列庆祝活动．学习了解党的历史是其中一项重要的活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有500名学生）的学习效果，该校举行了党史知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
（一）收集数据：
七年级：79，89，78，85，80，81，92，75，80，99，80，84，86，81，80，85，91，
65，88，82．
八年级：97，85，92，87，77，86，99，88，76，88，85，82，80，86，77，82，87，
85，75，46．
（二）整理数据：
（三）分析数据：
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ 4 ，b＝ 12 ，c＝ 80 ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在80分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对党的知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）答案不唯一，合理均可．
【解答】解：（1）由题意知八年级70≤x＜80共4人，80≤x＜90共12人，
∴a＝4，b＝12，
∵七年级8（0分）共有4人，
∴七年级成绩的众数80，
∴c＝80，
故答案为：4，12，80；
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在9（0分）以上的共有1000××100%＝775（人）；
（3）八年级的总体水平较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数为85，七年级的中位数为81.5，
85＞81.5，
∴八年级得分高的人数相对较多，
∴八年级的学生对党史知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．
22．（10分）某数学兴趣小组在探究函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：
（1）列表（完成下列表格）：a＝ 2.25 ，b＝ 2 ；
（2）描点并在图中画出函数的大致图象；
（3）根据函数图象，写出函数的一条性质： 函数图象关于直线x＝2对称 ；
（4）当不等式（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3＞6时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】（1）把x＝1.5和x＝3代入函数解析式求解．
（2）根据表格描点连线．
（3）由图象可得函数图象关于直线x＝2对称．
（4）根据图象求解．
【解答】解：（1）把x＝1.5，x＝3别代入函数表达式y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3得：y＝2.25，y＝2，
故答案为2.25，2．
（2）描点确定函数图象如下：
（3）由图象可知，该函数的性质：函数图象关于直线x＝2对称；或x＝1或x＝3时，函数有最小值2；
故答案为：函数图象关于直线x＝2对称．
（4）由图象可得x＜﹣1或x＞5时，函数值y＞6，
∴不等式（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3＞6时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，
故答案为x＜﹣1或x＞5．
23．（10分）2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元．
（1）若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
（2）该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．
①用含有a的代数式填表（不需化简）：
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．
【分析】（1）设8月份该店售出的“天问一号”模型x个，“嫦娥五号”模型y个，利用总价＝单价×数量，结合“该店在8月份售出这两款模型共200个，销售总额为56000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出8月份该店售出的“天问一号”和“嫦娥五号”模型的数量；
（2）①根据关键描述语“9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%”计算；
②利用总价＝单价×数量，结合该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
【解答】解：（1）设8月份该店售出的“天问一号”模型x个，“嫦娥五号”模型y个，
根据题得：．
解得：．
答：销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是400个与200个；
（2）①∵9月份，“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，“天问一号”模型的销量比8月份增加a%，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加a%，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+a%）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1+a%）个．“嫦娥五号”模型的售价为100（1﹣a%）；
故答案为：100（1﹣a%）；400（1+a%）；200（1+a%）；
②依题意得：90×400（1+a%）+100（1﹣a%）×200（1+a%）＝（90×400+100×200）（1+a%），
整理得：3a2﹣30a＝0．
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
24．（10分）对于一个四位正整数n，如果n满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那称这个数为“幸运数”．例如：n1＝8455，∵8+4+5﹣5＝12，∴8455是“幸运数”；n2＝2021，∵2+0+2﹣1＝3≠12，∴2021不是“幸运数”．
（1）判断3753，1858是否为“幸运数”？请说明理由．
（2）若“幸运数”m＝1000a+100b+10c+203（4≤a≤8，1≤b≤9，1≤c≤5且a，b，c均为整数），s是m截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t是m截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若s与t的和能被7整除，求m的值．
【分析】（1）读懂“幸运数”的意思，再根据定义代入3753和1858进行验证；
（2）m是一个四位数，s、t分别是两位数，都是可以用字母a、b、c表示，这样就可以用a、b、c表示s和t．再根据m是幸运数，化简得到a+c＝13﹣b．最后s和t的和能被7整除，再代入求出值．
【解答】解：（1）3753是幸运数，1858不是幸运数，
理由如下：
∵3+7+5﹣3＝12，1+8+5﹣8＝6，
∴3753是幸运数，1858不是幸运数．
（2）①当1≤b≤7时，
∵m＝1000a+100b+10c+203＝1000a+100（b+2）+10c+3，
∴s＝10a+b+2，t＝10c+3，
∴s+t＝10a+10c+b+2+3＝10（a+c）+b+5．
∵m为“幸运数”，
∴a+（b+2）+c﹣3＝12，
∴a+c＝13﹣b，
∴10（a+c）+b+5＝135﹣9b．
∵135﹣9b能被7整除，且1≤b≤9，
∴b＝1，
∴a+c＝12．
∵4≤a≤8，1≤c≤5，
∴当a＝8时，c＝4，m＝8×1000+100×（2+1）+10×4+3＝8343；
当a＝7时，c＝5，m＝7×1000+100（2+1）+10×5+3＝7353．
②当8≤b≤9时，m＝1000（a+1）+100（b﹣8）+10c+3，
∴a+1+b﹣8+c﹣3＝12，
∴a+b+c＝22，
当b＝8时，a+c＝14（舍去）；
当b＝9时，则a+c＝13，
∴，
∴m＝9153，而91+53＝146不能被7整除，
答：3764是幸运数，2858不是幸运数；m的值为8343，7353．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法构建方程组求出b，c即可；
（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．根据S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC得出四边形AECO的面积，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）若EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，构建方程求解即可；当EF为对角线时，同理可得出答案．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（1，0），与y轴交于点C（0，3），则：
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．
当﹣x2﹣2x+3＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴OA＝OC＝3，
∴S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）；
（3）存在．如图2中，因为点P是x轴上，点Q在抛物线上，
①EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，
对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
②当EF为对角线时，
﹣x2﹣2x+3＝，
解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q4（﹣，）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
（2）如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
（3）如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
【分析】（1）作DG⊥BC交BC延长线于点G，分别求出FG和DG的值，再根据勾股定理求出DF即可；
（2）延长AG交CD于H，连接AC，FH，证△AFH是等边三角形，再证AG＝GH即可得出AG⊥FG；
（3）在△ABC中，P为其中任意一点，连接AP，BP，得到△ABP，以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD，根据旋转得出当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，求出此时的最小值即可．
【解答】（1）解：如图1，作DG⊥BC交BC延长线于点G，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴EF＝BE＝AB＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF＝EF＝BC，
∴CF＝EF＝5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠ABC＝60°，
在Rt△CDG中，∠CDG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5，
∴FG＝CF+CG＝10，
在Rt△DFG中，DF＝＝5；
（2）证明：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠HDG，
∵G为DE的中点，
∴EG＝DG，
在△AEG和△DHG中，
，
∴△AEG≌△DHG（ASA），
∴AG＝HG，AE＝DH，
∵四边形ABCD为菱形，
∵AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴BE＝BF＝EF，∠AEF＝60°，
∴△ABC与△ACD为等边三角形，
∴FC＝DH，AC＝AD，∠BAC＝60°，
在△AFC和△AHD中，
，
∴△AFC≌△AHD（SAS），
∴AH＝AF，
同理：△ABF≌△ACH，
∴∠BAF＝∠CAH，
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∴△AFH是等边三角形，
∵AG＝HG，
∴AG⊥FG；
（3）解：在△ABC中，P为其中任意一点，连接AP，BP，得到△ABP，
以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD，
∵旋转60°，且BD＝BP，
∴△DBP 为一个等边三角形，
∴PB＝PD，
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC，
∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小，
如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD，
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，
∴△APC≌△DGC，
∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△PCG是等边三角形，
∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°，
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，
∴BP＝CP，
同理，DG＝CG，
∴BP＝PG＝GD，
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD，
在Rt△BOC中，
∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，
∴OC＝，
∴BO＝，
∴BD＝2BO＝7，
∴BP＝BD＝，
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
0
0
1
3
13
3
八年级
1
0
0
a
b
3
平均数
众数
中位数
七年级
83
c
81.5
八年级
83
85
85
x
…
﹣1
0
1
1.5
2
2.5
3
4
5
…
y
…
6
3
2
a
3
2.25
b
3
6
…
9月份的售价（元）
9月份销量
“天问一号”模型
90

“嫦娥五号”模型


40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
0
0
1
3
13
3
八年级
1
0
0
a
b
3
平均数
众数
中位数
七年级
83
c
81.5
八年级
83
85
85
x
…
﹣1
0
1
1.5
2
2.5
3
4
5
…
y
…
6
3
2
a
3
2.25
b
3
6
…
9月份的售价（元）
9月份销量
“天问一号”模型
90
400（1+a%）个
“嫦娥五号”模型
100（1﹣a%）
200（1+a%）个