初中数学人教版七年级下册6.3 实数学案设计

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第09课  实数  课程标准1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .  知识点01  有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点02  实数 有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：    实数按与0的大小关系分：    实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.知识点03  实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点04  实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.   考法01   实数概念【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）        【答案】有理数有：， ，，，0，无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……【点睛】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.【即学即练】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)
　　(2)无理数都是无限小数.(　　)
　　(3)无限小数都是无理数.(　　)
　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)
　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)
　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)
　　(7)有理数都是有限小数.(　　)
　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)
【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以     实数可以用有限小数和无限小数表示.考法02  实数大小的比较【典例2】比较与的大小．【分析】根据，，则来比较两个实数的大小．【答案】解：因为，．所以＜【点睛】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等. 【即学即练】若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　 　．【答案】7．解：∵，∴，∵x＜+1＜y，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．考法03  实数的运算【典例3】求的值．【答案】解：（1）当≥0时，，，所以．（2）当＜0时，，，所以．即值为0或2．【点睛】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号． 【即学即练】若的两个平方根是方程的一组解．   （1）求的值；   （2）求的算术平方根．【答案】解：（1）∵  的平方根是的一组解，则设的平方根为，，则根据题意得：解得          ∴  为．     （2）∵  ．∴  的算术平方根为4．考法04  实数的综合运用【典例4】已知，且，求的值．【答案】解：∵  ，且，．∴  ，即，．解得  ＝3，＝5，得＝64．∴  ．【点睛】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求． 【即学即练】已知，求的值．【答案】解：知条件得，由②得，，∵  ，∴  ，则．把代入①得，＝1．∴  ．【典例5】如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是　   　；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．【答案】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π；故答案为：﹣2π； （2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π． 【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键． 题组A  基础过关练1．的相反数是【 】A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此的相反数是．故选C．考点：相反数．2．估计的值在(          )A．2和3之间 B．3和4之间C．4和5之间 D．5和6之间【答案】C【解析】【分析】由可知，再估计的范围即可.【详解】解：，.故选：C.【点睛】本题考查了实数的估算，熟练的确定一个无理数介于哪两个整数之间是解题的关键.3．下列实数中的无理数是（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】分析: 分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.详解: =1.1， =-2， 是有理数，是无理数，故选C.点睛：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案．∵从数轴可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，   ∴﹣b＜0＜﹣a，考点：(1)、实数大小比较；(2)、实数与数轴5．如图，在数轴上表示的点可能是（       ）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】B【解析】【分析】利用无理数的估算得到3＜＜4，然后对各点进行判断即可．【详解】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，而3＜OQ＜4，∴表示的点可能是点Q．故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．6．有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（   ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】【分析】根据无理数的概念即可判定选择项．【详解】解：①﹣是有理数，正确；②是无理数，故错误；③2.131131113…是无理数，正确；④π是无理数，正确；正确的有3个．故选B．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．化简的结果正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先比较与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．【详解】解：∵<3∴-3<0即：；故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．8．下列说法：①2的平方根是；②的立方根是±；③－81没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应．其中错误的有 （       ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【解析】【分析】根据实数、平方根、立方根，数轴的定义和性质分别进行分析，即可得出答案．【详解】①2的平方根是，正确，②的立方根是，故本选项错误，③-81有立方根，故本选项错误，④实数和数轴上的点一一对应，正确．其中错误的有②③；故选C．【点睛】此题考查了实数与数轴，用到的知识点是实数、平方根、立方根，数轴，熟知有关定义和性质是本题的关键．9．下列语句正确是（     ）A．无限小数是无理数 B．无理数是无限小数C．实数分为正实数和负实数 D．两个无理数的和还是无理数【答案】B【解析】【详解】解：A．无限不循环小数是无理数，故A错误；B．无理数是无限小数，正确；C．实数分为正实数、负实数和0，故C错误；D．互为相反数的两个无理数的和是0，不是无理数，故D错误．故选B．题组B  能力提升练10．－的相反数为______，|1－|＝_______，绝对值为的数为________．【答案】     －     －1     ±3【解析】【分析】直接利用相反数的定义得出答案;结合绝对值的定义得出答案;根据立方根的定义先求出的值,再根据绝对值的性质即可求出.【详解】解：(1)－的相反数是：－，(2) |1－|＝－1; (3)=3,∴绝对值为3的数为±3.故答案为－;－1; ±3.【点睛】本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性质定理，认真的进行计算．11．化简: =________【答案】1【解析】【分析】因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．【详解】∵π≈3.142，∴π-4＜0，3-π＜0，∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．12．下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有_____个．【答案】3【解析】【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的绝大部分数，找出无理数的个数．【详解】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个，故答案为：3．【点睛】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．13．已知数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是______________．【答案】【解析】【详解】试题分析：根据数轴上点的对称性，可知AB=|-1-（-）|=，因此可知C点的数值为-1+=.14．观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为_______．【答案】【解析】【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【详解】由题意可得：+++…+=+1++1++…+1+=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=．故答案为．【点睛】：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．题组C  培优拔尖练15．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，，，.（1）有理数集合：；（2）正实数集合：；（3）无理数集合：；（4）负实数集合：.【答案】见解析【解析】【分析】根据 进行分类即可．【详解】解：（1）有理数集合；（2）正实数集合；（3）无理数集合；（4）负实数集合．【点睛】本题考查实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0．16．【答案】－【解析】【分析】先将二次根式化简，再根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】，== =-.【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是二次根式、绝对值等考点的运算．17．计算： .【答案】-2.【解析】【分析】根据二次根式、三次根式的化简方法计算，再合并同类项．【详解】，=，=-2.【点睛】本题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式的化简．18．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．（2）若M点在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q能追上点P？（4）在数轴上找一点N，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N对应的数．（不必说明理由）【答案】（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）M对应的数为2或﹣2．【解析】【分析】（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.【详解】（1）∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，∴b=3+2=5，∵c是单项式﹣2xy2的系数，∴c=﹣2， 如图所示：（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，∴AB=6，两点速度差为：2﹣，∴6÷（2﹣）=4，答：运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，当M在AB之间，则M对应的数是2，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣2.综上所述，M对应的数为2或﹣2．【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.