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初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试复习ppt课件
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这是一份初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试复习ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了平行四边形复习，学习检测，cm2，＜x＜14，三角形的中位线，中心对称，轴对称，互相垂直，互相垂直平分，一组对角等内容，欢迎下载使用。
1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形如图： ABCD对边分别为AB∥CD，AD∥BC
2、平行四边形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D） 对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）
3、平行四边形的判定： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD为平行四边形）
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∵∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠ADC ∴四边形ABCD为平行四边形）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD为平行四边形）
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD且AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形）（∵AD=BC且AD∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形
⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形（∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形）
1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1= 。
2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）
3．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为_______．
4．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________, ∠BCD=__________．
∵ABCD为平行四边形∴BO=OD，AO=OC∵AC+BD=14∴BO+OD+AO+OC=14∴BO+AO=7∴△AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13
∵ABCD为平行四边形，∠A=70°∴AB∥CD，∠A=∠BCD=70°∴∠A+∠D=180°∴∠D=180°-∠A=180°-70°=110°
5、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）A．①② B．②③ C． ①③ D． ③④
6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）A．大于2， B．小于14 C．大于2且小于14 D．大于2或小于12
解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x ∴8-6＜x＜6+8，∴2＜x＜14
解析：平行四边形的判定方法
7、如图， ABCD中，AB=5，AD=8， ∠ BAD 、∠ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。
解析：∵BC平分∠BAD，DF平分∠ADC
∴∠BAE=∠DAE，∠ADB=∠CDF
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB=CD=5
∴∠DAE=∠AEB∠ADF=∠DFC,AB=5,AD=8
∴AB=BE=5，CD=FC=5
∴EC=BC-BE=8-5=3， BF=BC-FC=8-5=3
∴EF=BC-BF-EC=8-3-3=2
8、如图，a∥b点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，如S△ABC=5cm2，则S△BCD= 。
解析：△ABC和△BCD的底边都为BC，高位a和b之间的距离，∴面积相同
4，如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线于点F，若BC=2AB，∠FBC=70°，求∠EBC的度数
解：由 ABCD可知AB=CD DC∥AB ∴∠DCF=∠EFA，∠AEF=∠DCF ∵E为AD中点 ∴AE=ED ∴△DEC≌△AEF ∴CD＝AF ,CE=EF ∵BC=2AB，AB=CD ∴AB=AF ∴BF=BC ∴ ∠EBC= ∠FBC= ×70°=35°
5：如图：已知 ABCD ，∠EAD=∠BAF（1）试证明：△CEF是等腰三角形（2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。
解（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC AB∥CD ∴∠EAD=∠F ∠BAF＝∠E又∵ ∠EAD= ∠BAF ∴ ∠E= ∠F ∴CE＝CF∴ △CEF是等腰三角形
4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M（1）请说明：AE⊥BF（2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC AB∥CD ∴ ∠BAE= ∠BFC 又 ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC ∴ ∠BAE= ∠AED ∠ABF= ∠CBF ∴ ∠DAF= ∠AED ∠CBF= ∠BFC ∴DE=AD CF＝BC ∴DE=CF 即DE+EF＝CD＋EF ∴DF=CE
5. 在□ ABCD中，AC＝6、AB＝4，则BD的范围是_____．6．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长是 ．
7.已知□ABCD的周长为36CM,AB=8CM, BC= ;当B=60°时，AD BC间的距离AE= , □ABCD的面积=
1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。(∵E为AC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC中位线)2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半. (∵EF为△ABC中位线 ∴EF=½BC，EF∥BC)3、一个三角形有三条中位线。
1.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5，则DE的长是 2.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长为___ _．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为____ __
4．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm．
特殊的平行四边形—矩形
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形（∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90° ∴四边形ABCD为矩形）
2、矩形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 四个角都是直角 （∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°） 对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO）
3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 ∵△BCD中，∠BCD=90°，CO是BD中线 ∴CO=½BD（或CO=BO=OD）
矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90° ∴四边形ABCD为矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD为矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴四边形ABCD为矩形
1.Rt△ABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为 。
2．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 __cm， cm， cm， cm．
3．下列说法错误的是（ ）． A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
4.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE＝15°，（1）求证：△AOB为等边三角形；（2）求∠BOE的度数
5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，B C=6，求AG的长。
解: 矩形纸片ABCD∠DAB=90°AD=BC, AB=CDBD=
∴42+x2=（8-x）2 解得：x=3∴AG=3
6.如图 ，在平行四边ABCD中，E..F为BC上的两点，且BE=CF,AF=DE.求证：(1) ABF ≌ DCE; (2)四边形ABCD是矩形
(2)由（1）的结论知∠B=∠C∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD∴∠B+∠C=180 ∴B=90∴四边形ABCD是矩形
7. 如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°∴四边形AECF是矩形
特殊的平行四边形—菱形
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形
2、菱形的性质： 四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等 （∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA） 对角线互相垂直，且平分对角 （AC⊥BD，∠OAD=∠OAB=∠OCD=∠OCB）
3、菱形的判定：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD为菱形3、四条边相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=DC=AD ∴四边形ABCD为菱形
1、菱形的的两邻角之比为1﹕2 ，且较短的对角线长3，则菱形的周长是（ ）A、8 B、9 C、12 D、152、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5，AO=4，则对角线AC的长为______、BD的长为______。3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角线长_______。
4、如图,四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°BD=6cm（1）∠BAD, ∠ABC的度数。（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.
解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA,∠DAB=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°∵∠ACD＝30°∴∠BAD=∠DCB=60°，∠ABC=180°-∠BCD=120°∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD OA=OC,OD=OB , BC=CD,又∠BCD=60°∴⊿BCD为等边三角形 ∴BC=BA=BD=CD=AD=6cm∴BO=DO=3cm
5.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
6. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=
AB，DE= AB
∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （SAS ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由
（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD∴四边形ABED是菱形．
理由：如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，
∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．
1.正方形既是________图形，又是_________图形正方形有_____条对称轴。2.正方形既是_______形,又是_____形，它既具有_____的性质，又具有_______的性质。3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是_______形，再证该四边形是________ 形。4.正方形的四条边___________，并且对边____.邻边______5.正方形的四个角都是__________.6.正方形的两条对角线_______且________,并且每条对角线平分__________.
特殊的平行四边形—正方形
1.判断：（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ）（2）对角线相等的矩形是正方形。（ ）（3）四边都相等的四边形是正方形。（ ）（4）矩形包括长方形和正方形。（ ）（5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（ ）
2. 正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G, DG交OA于F.求证：OE=OF.
3、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。
4. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．
5、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形如图： ABCD对边分别为AB∥CD，AD∥BC
2、平行四边形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D） 对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）
3、平行四边形的判定： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD为平行四边形）
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∵∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠ADC ∴四边形ABCD为平行四边形）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD为平行四边形）
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD且AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形）（∵AD=BC且AD∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形
⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形（∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形）
1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1= 。
2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）
3．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为_______．
4．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________, ∠BCD=__________．
∵ABCD为平行四边形∴BO=OD，AO=OC∵AC+BD=14∴BO+OD+AO+OC=14∴BO+AO=7∴△AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13
∵ABCD为平行四边形，∠A=70°∴AB∥CD，∠A=∠BCD=70°∴∠A+∠D=180°∴∠D=180°-∠A=180°-70°=110°
5、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）A．①② B．②③ C． ①③ D． ③④
6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）A．大于2， B．小于14 C．大于2且小于14 D．大于2或小于12
解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x ∴8-6＜x＜6+8，∴2＜x＜14
解析：平行四边形的判定方法
7、如图， ABCD中，AB=5，AD=8， ∠ BAD 、∠ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。
解析：∵BC平分∠BAD，DF平分∠ADC
∴∠BAE=∠DAE，∠ADB=∠CDF
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB=CD=5
∴∠DAE=∠AEB∠ADF=∠DFC,AB=5,AD=8
∴AB=BE=5，CD=FC=5
∴EC=BC-BE=8-5=3， BF=BC-FC=8-5=3
∴EF=BC-BF-EC=8-3-3=2
8、如图，a∥b点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，如S△ABC=5cm2，则S△BCD= 。
解析：△ABC和△BCD的底边都为BC，高位a和b之间的距离，∴面积相同
4，如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线于点F，若BC=2AB，∠FBC=70°，求∠EBC的度数
解：由 ABCD可知AB=CD DC∥AB ∴∠DCF=∠EFA，∠AEF=∠DCF ∵E为AD中点 ∴AE=ED ∴△DEC≌△AEF ∴CD＝AF ,CE=EF ∵BC=2AB，AB=CD ∴AB=AF ∴BF=BC ∴ ∠EBC= ∠FBC= ×70°=35°
5：如图：已知 ABCD ，∠EAD=∠BAF（1）试证明：△CEF是等腰三角形（2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。
解（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC AB∥CD ∴∠EAD=∠F ∠BAF＝∠E又∵ ∠EAD= ∠BAF ∴ ∠E= ∠F ∴CE＝CF∴ △CEF是等腰三角形
4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M（1）请说明：AE⊥BF（2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC AB∥CD ∴ ∠BAE= ∠BFC 又 ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC ∴ ∠BAE= ∠AED ∠ABF= ∠CBF ∴ ∠DAF= ∠AED ∠CBF= ∠BFC ∴DE=AD CF＝BC ∴DE=CF 即DE+EF＝CD＋EF ∴DF=CE
5. 在□ ABCD中，AC＝6、AB＝4，则BD的范围是_____．6．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长是 ．
7.已知□ABCD的周长为36CM,AB=8CM, BC= ;当B=60°时，AD BC间的距离AE= , □ABCD的面积=
1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。(∵E为AC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC中位线)2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半. (∵EF为△ABC中位线 ∴EF=½BC，EF∥BC)3、一个三角形有三条中位线。
1.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5，则DE的长是 2.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长为___ _．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为____ __
4．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm．
特殊的平行四边形—矩形
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形（∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90° ∴四边形ABCD为矩形）
2、矩形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 四个角都是直角 （∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°） 对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO）
3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 ∵△BCD中，∠BCD=90°，CO是BD中线 ∴CO=½BD（或CO=BO=OD）
矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90° ∴四边形ABCD为矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD为矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴四边形ABCD为矩形
1.Rt△ABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为 。
2．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 __cm， cm， cm， cm．
3．下列说法错误的是（ ）． A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
4.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE＝15°，（1）求证：△AOB为等边三角形；（2）求∠BOE的度数
5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，B C=6，求AG的长。
解: 矩形纸片ABCD∠DAB=90°AD=BC, AB=CDBD=
∴42+x2=（8-x）2 解得：x=3∴AG=3
6.如图 ，在平行四边ABCD中，E..F为BC上的两点，且BE=CF,AF=DE.求证：(1) ABF ≌ DCE; (2)四边形ABCD是矩形
(2)由（1）的结论知∠B=∠C∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD∴∠B+∠C=180 ∴B=90∴四边形ABCD是矩形
7. 如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°∴四边形AECF是矩形
特殊的平行四边形—菱形
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形
2、菱形的性质： 四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等 （∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA） 对角线互相垂直，且平分对角 （AC⊥BD，∠OAD=∠OAB=∠OCD=∠OCB）
3、菱形的判定：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD为菱形3、四条边相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=DC=AD ∴四边形ABCD为菱形
1、菱形的的两邻角之比为1﹕2 ，且较短的对角线长3，则菱形的周长是（ ）A、8 B、9 C、12 D、152、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5，AO=4，则对角线AC的长为______、BD的长为______。3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角线长_______。
4、如图,四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°BD=6cm（1）∠BAD, ∠ABC的度数。（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.
解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA,∠DAB=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°∵∠ACD＝30°∴∠BAD=∠DCB=60°，∠ABC=180°-∠BCD=120°∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD OA=OC,OD=OB , BC=CD,又∠BCD=60°∴⊿BCD为等边三角形 ∴BC=BA=BD=CD=AD=6cm∴BO=DO=3cm
5.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
6. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=
AB，DE= AB
∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （SAS ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由
（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD∴四边形ABED是菱形．
理由：如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，
∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．
1.正方形既是________图形，又是_________图形正方形有_____条对称轴。2.正方形既是_______形,又是_____形，它既具有_____的性质，又具有_______的性质。3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是_______形，再证该四边形是________ 形。4.正方形的四条边___________，并且对边____.邻边______5.正方形的四个角都是__________.6.正方形的两条对角线_______且________,并且每条对角线平分__________.
特殊的平行四边形—正方形
1.判断：（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ）（2）对角线相等的矩形是正方形。（ ）（3）四边都相等的四边形是正方形。（ ）（4）矩形包括长方形和正方形。（ ）（5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（ ）
2. 正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G, DG交OA于F.求证：OE=OF.
3、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。
4. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．
5、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
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