初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明课时练习

命题、定理、证明

一、选择题

1.下列语句中,不是命题的是 (　　)

A.如果a=b,那么b=a

B.同位角相等

C.垂线段最短

D.反向延长射线OA

2.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是 (　　)

A.平行

B.两条直线

C.两条直线互相平行

D.两条直线平行于同一条直线

3.(2021株洲期末)下列命题是真命题的是 (　　)

A.相等的角是对顶角

B.一个角的补角大于这个角

C.如果a+b=0,那么a=b=0

D.两直线平行,内错角相等

4.(2021重庆渝中区期末)下列命题是假命题的是 (　　)

A.对顶角相等  B.两点之间线段最短

C.同角的余角相等  D.内错角相等

5.如图1,从①∠1=∠2;②∠C=∠D;③∠A=∠F三个条件中选出两个作为题设,另一个作为结论组成命题,其中真命题的个数为              (　　)

图1

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

6.命题“直角都相等”的题设是　　　　　　　　,结论是　　　　　　. 

7.命题“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么内错角也相等”是　　　　命题(填“真”或“假”). 

8.说明“互补的两个角一定是一个锐角、一个钝角”是假命题,可举出的反例是　           . 

三、解答题

9.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出命题的题设与结论.

(1)同旁内角互补;

(2)同角的余角相等.

10.判断下列语句是不是命题,如果是命题,判断其真假;如果是假命题,请举出一个反例.

(1)过线段的中点画这条线段的垂线;

(2)相反数的商是-1;

(3)若∠AOB=30°,∠BOC=60°,则OA⊥OC.

11.求证:任意写一个十位数字比个位数字大的两位数,交换这个两位数的十位数字和个位数字得到一个新的两位数,将原数与新数相减,所得差一定能被9整除.

12.如图2,直线BE,DF被直线MN所截,如果∠1=∠2,那么AB∥CD,这个命题是真命题吗?若不是,请你添加一个条件,使该命题成为真命题,并给予证明.

图2  

13.已知:如图3,直线AB和直线CD,直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下列四个论断中,请你选择其中三个作为题设,剩下的一个作为结论,组成一个真命题并证明.

①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE∥CF;④∠1=∠2.

题设(已知):　　　　　(填序号即可). 

结论(求证):　　　　　(填序号即可). 

证明:

图3  

14.如图4,点D在三角形ABC的BC边的延长线上,另有三个论断:①CE∥AB;②∠A=∠ACE;③∠ACD=∠A+∠B.根据以上三个论断组成如下三个命题:

命题一:若①,则②③;

命题二:若②,则①③;

命题三:若③,则①②.

请判断以上三个命题的真假,并选择一个真命题进行证明.

图4 

15. 因数只有1和它本身的正整数叫质数(又叫素数).观察下表:

　　由上表可知,当n取1~8的正整数时,式子n2-n+11的值都是质数,因此猜想:“当n是正整数时,n2-n+11是质数.”这个猜想正确吗?请说明理由.

答案

1.D

2.D

3.D

4.D

5.D　[解析] 如图所示.

①②⇒③.

因为∠1=∠2,∠1=∠3,

所以∠2=∠3,故DB∥EC,则∠D=∠4.

又因为∠C=∠D,所以∠4=∠C,故DF∥AC,可得∠A=∠F.

①③⇒②.

因为∠1=∠2,∠1=∠3,

所以∠2=∠3,故DB∥EC,则∠D=∠4.

因为∠A=∠F,所以DF∥AC,故∠4=∠C,故可得∠C=∠D.

②③⇒①.

因为∠A=∠F,

所以DF∥AC,则∠4=∠C.

因为∠C=∠D,所以∠4=∠D,

故DB∥EC,则∠2=∠3.

又∠1=∠3,所以∠1=∠2.

故真命题的个数为3.

6.一些角都是直角　这些角相等

7.真

8.两个直角互补

9.解:(1)两条直线被第三条直线所截,如果两个角是同旁内角,那么这两个角互补.

命题的题设为“两个角是同旁内角”,结论为“这两个角互补”.

(2)如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等.

命题的题设为“两个角是同一个角的余角”,结论为“这两个角相等”.

[点评] 在改写过程中不能简单地加上“如果”“那么”,要适当增减词语,使句子通顺而不改变原意.

10.解:语句(1)不是命题;

语句(2)是命题,是假命题.举反例如下:0和0互为相反数,但它们的商不存在.

语句(3)是命题,是假命题.举反例如下:当OA在∠BOC内部时,OA与OC不垂直.

11.证明:设原数的十位数字为a,个位数字为b(a,b均为整数,且a>b).

根据题意可得

(10a+b)-(10b+a)

=9a-9b

=9(a-b).

因为a,b均为整数,所以9(a-b)能被9整除,故原数与新数相减,所得差一定能被9整除.

12.解:题中所给命题不是真命题.添加条件不唯一,如添加“BE∥DF”,证明如下:

∵BE∥DF(已知),

∴∠EBD=∠FDN(两直线平行,同位角相等).

又∵∠1=∠2(已知),

∴∠EBD-∠1=∠FDN-∠2(等式的性质),

即∠ABD=∠CDN,

∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).

13.解:①②③　④

证明:∵AB⊥BC,CD⊥BC,

∴∠ABC=∠DCB=90°.

∵BE∥CF,∴∠EBC=∠FCB,

∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,

即∠1=∠2.

(本题答案不唯一,也可由②③④推①,由①③④推②,由①②④推③)

14.解:命题一、二是真命题,命题三是假命题.

证明命题一如下:

∵CE∥AB(已知),

∴∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等),∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等),

∴∠ACE+∠ECD=∠A+∠B(等式的性质),

即∠ACD=∠A+∠B.

证明命题二如下:

∵∠A=∠ACE(已知),

∴CE∥AB(内错角相等,两直线平行),

∴∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等),

∴∠ACE+∠ECD=∠A+∠B(等式的性质),

即∠ACD=∠A+∠B.

15.解:这个猜想不正确.理由:当n=11时,n2-n+11=112=121,而121除了因数1和121外,还有因数11,因此121不是质数,所以这个猜想不正确.