云南省丽江市2019-2020学年高二下学期期末教学质量监测理科数学试题（含答案）

秘密★考试结束前

丽江市2020年春季学期高中教学质量监测

高二理科数学试卷

命题学校：华坪县第一中学

（全卷三个大题，共23个小题，共7页；满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．

3．考试结束后，请将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则CRA=（   ）

 A．    B．    

 C．   D．

2．已知复数z满足，则=（   ）

 A． B．1 C． D．5

3．袋中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，则至少摸出1个黑球的概率为（   ）

   A． B． C． D． 

4．已知函数，若，则（   ）

 A． B． C．0 D．

 A．          B．       C．        D．

6．已知，，均为锐角，则（    ）

 A．  B． 

 C．  D．1

7．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于63的概率为（   ）

 A．  

 B．  

 C．  

 D． 

8．已知等比数列{an}的各项均为正数，且，，成等差数列，则（    ）

 A．9 B．6 C．3 D．1

9．设均为正数，且．则（    ）

 A． B． C． D．

10．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（    ）

 A．   

 B．   

 C．   

 D．

11．已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（   ）

 A．0个     B．1个     C．3个     D．无数个

12．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且．则不等式的解集是（    ）

 A．     B． 

 C．     D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线在点（0，0）处的切线方程为__________．

14．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是______________．

15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）

16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b=      ．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，每题12分．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，每题10分．

（一）必考题：共60分，每题12分．

17．在中，角的对边分别为，且．

（1）求角A的大小；

（2）若等差数列{an}的公差不为零，，且成等比数列，求的前n项和Sn．

18．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．

19．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，

E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

 （1）证明：MN∥平面C1DE；

 （2）求二面角的正弦值．

20．已知椭圆的离心率为，点P在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，且（O为坐标原点）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．

21．已知函数（其中常数）．

（1）求函数的定义域及单调区间；

（2）若存在实数，使得不等成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程（为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）若直线l的极坐标方程是，射线与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

23．[选修4－5：不等式选讲]

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求实数m的取值范围．

丽江市2020年春季学期高中教学质量监测

高二理科数学参考答案

10．【答案】A

【解析】该几何体直观图如图所示：

是一个球被切掉左上角的，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A．

11．【答案】D

【解析】抛物线方程为，为曲线C上三点，

当时，F为的重心，

用如下办法构造，

连接AF并延长至D，使，

当D在抛物线内部时，

设若存在以D为中点的弦，

设，

则

则，两式相减化为，，

所以总存在以D为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D.

12．【答案】C

【解析】当时，，∴，

令，则，在R上为奇函数，且单调递增，且，则

①当时，，即，，即，∴；

②当时，，，，

即，∴．

综上，不等式的解集为．故选C．

13．【答案】

14．【答案】

【解析】已知是偶函数，在上单调递减，则关于对称，在单调递减，在单调递增，

又因为

所以分两种情况讨论：

①在时，有

②在时，有

综上所述

15．【答案】

【解析】根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.

   【详解】

如图，

根据已知可得

设飞行高度为千米，即，则；

在直角三角形中，，，

所以，；

在直角三角形中，同理可求；

因为飞行速度为千米/小时，飞行时间是1分钟，所以，

所以，解得，故答案为：.

16．【答案】

【解析】（1）

设切点

解之得

故切线方程为，其中

17．【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（6分）

（2）由（1）可得，再由成等比数列，列方程求得公差，从而得，则，利用裂项相消法可得结果. （12分）

【详解】

（1）由得

，所以  

又             

（2）设{an}的公差为d，由（1）得，且，

∴．又，∴，∴．

∴

 ∴

18．【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）；（3）．

【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（3分）

（2）设表示所取3人中有i个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A，

则．（7分）

（3）一个人是“好视力”的概率为，的可能取值为0，1，2，3．

，

，

的分布列为

      （12分）

19．【答案】（1）见解析；（2） .

【解析】（1）连结M，E和B1，C，

∵M，E分别是BB1和BC的中点，

∴ME∥B1C且，又N是A1D的中点，

∴ME∥DN，且ME=DN，

∴四边形MNDE是平行四边形，

∴MN∥DE，又平面C1DE，MN平面C1DE，

∴MN∥平面C1DE. （6分）

（2）以D为原点建立如图坐标系，由题，，，设平面AA1M的法向量为，平面DA1M的法向量为，由得，令得，

     由得，令得， ∴，

     ∴二面角的正弦值为. （12分）

20．【答案】（1）；（2）是定值，为.

【解析】（1）∵椭圆C的离心率，又，

∴，

∴. 又点在椭圆上，

∴，即，

∴，则.

∴椭圆C的方程为. （5分）

（2）①当直线OA的斜率存在且不为0时， 设其方程为，

∵A，B分别为椭圆上的两点，且，即，

∴直线的方程为. 设A(x1，y1)，

     B(x2，y2)，把代入椭圆，得，

∴，

     同理，

∴，

    ∴.

 ②当直线OA，OB中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，

  此时.

综上所述，为定值. （12分）

21．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为.

   （2）

【解析】（1）函数的定义域为.

.（1分）

由，解得.由，解得且.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（4分）

（2）由题意可知，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立. （5分）

①若即时，

x，，的变化情况如下表:

所以在上的最小值为.

则，得. （9分）

②若即时， 在是单调递减，

在上的最小值为.

由得 (舍).

综上所述， 即为所求.  （12分）

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

【答案】(1) ，(2)

【解析】曲线C的普通方程为，

     极坐标方程为    （5分）

（2）设，则有解得     

设，则有解得

所以   （10分）

23．【答案】（1）

（2）

【解析】（1）当时，．

①当时，，解得；

②当时，，

无解．

③当时，，

解得；

综上，原不等式的解集为．（5分）

（2）∵

当且仅当等号成立

∴，

∴或，

即或，

∴实数m的取值范围是．（5分）