高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.12(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第2章　函数、导数及其应用2.12(教师版)，共12页。
A级
一、选择题
1．若函数y＝aex＋3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))
答案 B
解析 y＝aex＋3x，求导，y′＝aex＋3，
由若函数y＝aex＋3x在R上有小于零的极值点，
则y′＝aex＋3＝0有负根，则a≠0，
则ex＝－eq \f(3,a)在y轴的左侧有交点，
∴00，)) ①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－30时，f(x)>－xf′(x)，即f(x)＋xf′(x)>0，
∴[xf(x)]′>0，函数h(x)＝xf(x)在x>0时是增函数．又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，∴h(x)＝xf(x)是偶函数；
∴x2；
④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
答案 ①③④⑤
解析 令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.
对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－12，得f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故 x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．
B级
三、解答题
15．已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a0，
因此方程ex－a＝x无实数解．
所以当x≠0时，函数g(x)不存在零点．
综上，函数g(x)有且仅有一个零点．
16．设函数f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋x2＋(a2－1)x，其中a>0.
(1)若函数y＝f(x)在x＝－1处取得极值，求a的值；
(2)已知函数f(x)有3个不同的零点，分别为0，x1，x2，且x1f(1)恒成立，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝－x2＋2x＋(a2－1)，
因为y＝f(x)在x＝－1处取得极值，
所以f′(－1)＝0.
即－(－1)2＋2(－1)＋(a2－1)＝0.
解得a＝±2，经检验得a＝2.
(2)由题意得f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)x2＋x＋a2－1))＝－eq \f(1,3)x·(x－x1)(x－x2)，
所以方程－eq \f(1,3)x2＋x＋a2－1＝0有两个相异的实根x1，x2.故Δ＝1＋eq \f(4,3)(a2－1)>0，
解得aeq \f(1,2)，且x1＋x2＝3，
又因为x1x1＋x2＝3，故x2>eq \f(3,2)>1.
①若x1≤1