高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量 4.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第4章　平面向量 4.2(教师版)，共11页。
一、选择题
1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
答案 D
解析 ∵c∥d，∴(ka＋b)∥(a－b)，∴存在λ使ka＋b＝λ(a－b)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,1＝－λ))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－1，,λ＝－1.))∴c＝－a＋b，∴c与d反向．故选D.
2．已知eq \(OA,\s\up16(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up16(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up16(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 B．k＝eq \f(1,2) C．k＝1 D．k＝－1
答案 C
解析 若点A，B，C不能构成三角形，则向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(AC,\s\up16(→))共线．因为eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(OC,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1，故选C.
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案 D
解析 设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝4，D是AB上一点，且eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))＝5，则|eq \(BD,\s\up16(→))|等于( )
A．6 B．4 C．2 D．1
答案 C
解析 设eq \(AD,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))，∵eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))·(eq \(AD,\s\up16(→))－eq \(AC,\s\up16(→)))＝λeq \(AB,\s\up16(→))2－eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝5，可得25λ＝15，∴λ＝eq \f(3,5)，∴|eq \(BD,\s\up16(→))|＝eq \f(2,5)|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2，故选C.
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若eq \(OC,\s\up16(→))＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
答案 A
解析 由题意知eq \(OC,\s\up16(→))＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，排除B；取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，排除C，D，故选A.
6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A．24 B．8 C.eq \f(8,3) D.eq \f(5,3)
答案 B
解析 ∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，又x，y>0，
∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)＋\f(2,y)))×eq \f(1,3)(2x＋3y)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(9y,x)＋\f(4x,y)＋6))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))
＝8，当且仅当2x＝3y＝eq \f(3,2)时，等号成立．
∴eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是8.故选B.
7．如图所示，两个非共线向量eq \(OA,\s\up16(→))、eq \(OB,\s\up16(→))的夹角为θ，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且eq \(OC,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为( )
A.eq \f(4,25) B.eq \f(2,5) C.eq \f(4,9) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 因为点C，M，N共线，
则eq \(OC,\s\up16(→))＝λeq \(OM,\s\up16(→))＋μeq \(ON,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)λeq \(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)μeq \(OB,\s\up16(→))，λ＋μ＝1，
由eq \(OC,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))，x＝eq \f(2,3)λ，y＝eq \f(1,2)μ＝eq \f(1,2)(1－λ)，
x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)λ))2＋eq \f(1,4)(1－λ)2＝eq \f(25,36)λ2－eq \f(λ,2)＋eq \f(1,4)，设g(λ)＝eq \f(25,36)λ2－eq \f(λ,2)＋eq \f(1,4)，
由二次函数的性质可知：当λ＝eq \f(9,25)时，g(λ)取最小值，
最小值为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,25)))＝eq \f(4,25)，所以x2＋y2的最小值为eq \f(4,25)，故选A.
8．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))＋μeq \(AD,\s\up16(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C．1 D.eq \f(5,16)
答案 A
解析 eq \(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(DO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4)(eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→)))
＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up16(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up16(→))，所以λ＝eq \f(1,4)，μ＝－eq \f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq \f(5,8).故选A.
9．已知A，B，C三点不共线，且eq \(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋2eq \(AC,\s\up16(→))，则eq \f(S△ABD,S△ACD)＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．6 D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 如图，取eq \(AM,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AN,\s\up16(→))＝2eq \(AC,\s\up16(→))，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，
此时eq \(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up16(→))＋2eq \(AC,\s\up16(→)).由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝eq \f(1,2)S△AND，
而S△AMD＝S△AND，∴eq \f(S△ABD,S△ACD)＝6.故选C.
10．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AC,\s\up16(→))＝b，则eq \(AD,\s\up16(→))＝( )
A.eq \r(2)a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))b B．－eq \r(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))b
C．－eq \r(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))b D.eq \r(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))b
答案 B
解析 根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形．由CD＝1，得CE＝ED＝eq \f(\r(2),2)，
则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1＋\f(\r(2),2)))，∴eq \(AB,\s\up16(→))＝(－1,0)，
eq \(AC,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－1，1＋\f(\r(2),2))).令eq \(AD,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))＋μeq \(AC,\s\up16(→))，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ－μ＝\f(\r(2),2)－1，,μ＝1＋\f(\r(2),2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\r(2)，,μ＝1＋\f(\r(2),2)，))
∴eq \(AD,\s\up16(→))＝－eq \r(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))b.故选B.
二、填空题
11．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq \(DC,\s\up16(→))＝2eq \(AB,\s\up16(→)).
设点D的坐标为(x，y)，则eq \(DC,\s\up16(→))＝(4－x,2－y)，eq \(AB,\s\up16(→))＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2,4)．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为________．
答案 60°
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理，
得b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2).
又0°