高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.5(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第8章　平面解析几何8.5(教师版)，共14页。
A级
一、选择题
1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1的焦点坐标为( )
A．(±eq \r(3)，0) B．(0，±eq \r(3))
C．(±eq \r(3)，0)或(±eq \r(5)，0) D．(0，±eq \r(3))或(±eq \r(5)，0)
答案 B
解析 因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1即为椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1，易知其焦点坐标为(0，±eq \r(3))，故选B.
2．已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋csθ＝eq \f(3,4)，则方程x2sinθ－y2csθ＝1表示( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的椭圆
答案 D
解析 因为(sinθ＋csθ)2＝1＋2sinθcsθ＝eq \f(9,16)，所以sinθcsθ＝－eq \f(7,32)＜0，结合θ∈(0，π)，知sinθ>0，csθb>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq \r(3)b，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,\r(3))，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2)＝eq \f(\r(6),3).故选A.
5．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 C
解析 因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2.
因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，所以m2＝eq \f(c4,a2)，n2＝eq \f(c4,a2)＋eq \f(c2,2)，所以eq \f(2c4,a2)＋eq \f(c2,2)＝c2，化为eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).故选C.
6．某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )
A．2eq \r(m＋rn＋r)千米 B.eq \r(m＋rn＋r)千米
C．2mn千米 D．mn千米
答案 A
解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则近地点A距地心为a－c，远地点B距地心为a＋c.
∴a－c＝m＋r，a＋c＝n＋r，∴a＝eq \f(m＋n,2)＋r，c＝eq \f(n－m,2).
又∵b2＝a2－c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＋r))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－m,2)))2＝mn＋(m＋n)r＋r2
＝(m＋r)(n＋r)．∴b＝eq \r(m＋rn＋r)，
∴短轴长为2b＝2eq \r(m＋rn＋r)千米，故选A.
7．如图，F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \r(3)－1 D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 连接AF1，
∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，
又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，
∴∠AF2F1＝eq \f(1,2)∠AF2B＝30°，
因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，
|F1A|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，|F2A|＝eq \f(\r(3),2)|F1F2|＝eq \r(3)c.
根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋eq \r(3))c，
解得a＝eq \f(1＋\r(3),2)c，∴椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.故选C.
8．椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(6\r(5),5)
C.eq \f(8\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
答案 C
解析 设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2eq \r(5)－|ME|)＋(2eq \r(5)－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4eq \r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq \r(5)，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝eq \f(1,2)×|MN|×|EF|＝eq \f(1,2)×eq \f(2×4,\r(5))×2＝eq \f(8\r(5),5)，故选C.
9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为－eq \f(1,4)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 设外层椭圆方程为eq \f(x2,ma2)＋eq \f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，
则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k1x－ma，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，
得(b2＋a2keq \\al(2,1))x2－2ma3keq \\al(2,1)x＋m2a4keq \\al(2,1)－a2b2＝0.
因为Δ＝(2ma3keq \\al(2,1))2－4(b2＋a2keq \\al(2,1))(m2a4keq \\al(2,1)－a2b2)＝0，整理，
得keq \\al(2,1)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(1,m2－1).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k2x＋mb，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，
得(b2＋a2keq \\al(2,2))x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，
因为Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2keq \\al(2,2))(a2m2b2－a2b2)＝0，
整理，得keq \\al(2,2)＝eq \f(b2,a2)·(m2－1)．所以keq \\al(2,1)·keq \\al(2,2)＝eq \f(b4,a4).因为k1k2＝－eq \f(1,4)，
所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以e＝eq \f(\r(3),2)，故选C.
10．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)和圆x2＋y2＝b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A．0