高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.4(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.4(教师版)，共9页。
一、选择题
1．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 B
解析 分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A1，A2，A3，A4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6个，其中A1未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).故选B.
2．从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
答案 C
解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
答案 D
解析 令选取的a，b组成实数对(a，b)，则有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,5)＝15种情况，其中b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种情况，所以b>a的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).故选D.
4．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(11,12) C.eq \f(1,12) D.eq \f(1,18)
答案 B
解析 若m与n共线，则2a－b＝0.而(a，b)的可能性情况为6×6＝36个．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是eq \f(3,36)＝eq \f(1,12)，从而不共线的概率是1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).故选B.
5．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(3,16) C.eq \f(1,4) D.eq \f(7,16)
答案 B
解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为eq \f(27,144)＝eq \f(3,16).故选B.
6．现有一枚质地均匀且表面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(11,36)
答案 D
解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6＝36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个．
∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率P＝eq \f(11,36).故选D.
7．从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
答案 A
解析 从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有Ceq \\al(3,5)＝10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3个，故所求概率P＝eq \f(3,10).故选A.
8．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(7,10) D.eq \f(3,10)
答案 C
解析 从5张卡片中随机抽取2张共有Ceq \\al(2,5)＝10种等可能情况；2张卡片上的数字之积为偶数的为1奇1偶和2偶，共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,2)＝7种等可能情况，故所求概率为P＝eq \f(7,10).故选C.
9．某食品厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品4袋，能获奖的概率为( )
A.eq \f(4,27) B.eq \f(8,27) C.eq \f(4,9) D.eq \f(8,9)
答案 C
解析 因为3种不同的精美卡片随机放进4袋食品中，根据分步乘法计数原理可知共有34＝81种不同放法，4袋食品中共有3种不同的卡片的放法有3×Ceq \\al(2,4)×Aeq \\al(2,2)＝36种，根据等可能事件的概率公式得能获奖的概率为eq \f(36,81)＝eq \f(4,9)，故选C.
10．从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,9) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 (a，b)所有可能的结果为Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)＝9种．
由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,b≥0))时，直线不经过第四象限，符合条件的(a，b)的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率P＝eq \f(2,9)，故选A.
二、填空题
11．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
答案 eq \f(3,5)
解析 如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有Ceq \\al(2,5)＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6种，因此所求概率P＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
12．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq \f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq \f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
答案 eq \f(19,28)
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28).
13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq \f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq \f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
答案 eq \f(8,15) eq \f(14,15)
解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C“取得两个同色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P(C)＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).
(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
14．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
答案 0.25
解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为eq \f(5,20)＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
三、解答题
15．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，
将频率视为概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10).
16．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq \f(100＋200,1000)＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq \f(100,1000)＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．