高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.8(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.8(教师版)，共13页。
A级
一、选择题
1．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少有一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝( )
A.eq \f(3,7) B.eq \f(3,8) C.eq \f(7,8) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 依题意得P(A)＝1－eq \f(1,23)＝eq \f(7,8)，P(AB)＝eq \f(3,23)＝eq \f(3,8)，
因此P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(3,7)，故选A.
2．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为eq \f(2,3)，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A.eq \f(8,27) B.eq \f(64,81) C.eq \f(4,9) D.eq \f(8,9)
答案 A
解析 第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27).故选A.
3．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为eq \f(2,3)，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,5)
答案 B
解析 由题意，甲获得冠军的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(20,27)，
其中比赛进行了3局的概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)，
∴所求概率为eq \f(8,27)÷eq \f(20,27)＝eq \f(2,5)，故选B.
4．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，第n次摸取红球，,1，第n次摸取白球.))如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．Ceq \\al(5,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5 B．Ceq \\al(2,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))5
C．Ceq \\al(4,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))5 D．Ceq \\al(3,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))5
答案 B
解析 S7＝3说明摸取2个红球，5个白球，故S7＝3的概率为Ceq \\al(2,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))5，故选B.
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于( )
A．Ceq \\al(10,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2 B．Ceq \\al(9,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
C．Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))2 D．Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
答案 D
解析 “X＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2×eq \f(3,8)＝Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2.故选D.
6．如果ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15，\f(1,4)))，那么使P(ξ＝k)取最大值的k值为( )
A．3 B．4 C．5 D．3或4
答案 D
解析 采取特殊值法．
∵P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,15)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))12，P(ξ＝4)＝Ceq \\al(4,15)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))11，P(ξ＝5)＝Ceq \\al(5,15)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))10，
从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．故选D.
7．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.eq \f(4,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝eq \f(2,3)，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝eq \f(2,3).
则P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).故选A.
8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq \f(5,9)，则P(Y≥2)的值为( )
A.eq \f(32,81) B.eq \f(11,27) C.eq \f(65,81) D.eq \f(16,81)
答案 B
解析 P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq \\al(1,2)p(1－p)＋Ceq \\al(2,2)p2＝eq \f(5,9)，
解得p＝eq \f(1,3).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤p≤1，故p＝\f(5,3)舍去)).
故P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－Ceq \\al(0,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4－Ceq \\al(1,4)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(11,27).故选B.
9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200 C．300 D．400
答案 B
解析 1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，∴不发芽的种子数ξ～B(1000,0.1)．
∴1000粒种子中不发芽的种子数的期望E(ξ)＝1000×0.1＝100粒．又每粒不发芽的种子需补种2粒，∴需补种的种子数的期望E(X)＝2×100＝200粒．故选B.
10．位于坐标原点的一个质点M按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq \f(1,2)，质点M移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5 B．Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5
C．Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3 D．Ceq \\al(2,5)×Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5
答案 B
解析 如图，由题可知质点M必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率．所求概率为P＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5.故选B.
二、填空题
11．已知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，当P(X＝k)(k∈N,0≤k≤8)取得最大值时，k的值是________．
答案 4
解析 ∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，∴P(X＝k)＝Ceq \\al(k,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8－k＝Ceq \\al(k,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8，
∴当P(X＝k)(k∈N,0≤k≤8)取得最大值时只有Ceq \\al(k,8)是一个变量，
∴根据组合数的性质得到当k＝4时，概率取得最大值．
12．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，
设甲中奖概率为P(A)，乙中奖的概率为P(B)，两人都中奖的概率为P(AB)，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.6，两人都中奖的概率为P(AB)＝0.4，
则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.4,0.6)＝eq \f(2,3).
13．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为eq \f(2,3)，向右移动的概率为eq \f(1,3)，则电子兔移动五次后位于点(－1,0)的概率是________．
答案 eq \f(80,243)
解析 根据题意，质点P移动五次后位于点(－1,0)，其中向左移动3次，向右移动2次；其中向左平移的3次有Ceq \\al(3,5)种情况，剩下的2次向右平移；
则其概率为Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(80,243).
14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．
∴事件A发生的概率为P(A)＝eq \f(2×3×3,6×6)＝eq \f(1,2)，而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件，
∴事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6)，
∴P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq \f(1,3).
B级
三、解答题
15．空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．
(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×eq \f(3,5)＝18.
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为eq \f(3,5)，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,5))).∴P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(8,125)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2＝eq \f(36,125)，P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))＝eq \f(54,125)，
P(ξ＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125)，
ξ的分布列为
E(ξ)＝3×eq \f(3,5)＝1.8.
16．党的十九大报告提出：要提高人民健康水平，改革和完善食品、药品安全监管体制．为加大监督力度，某市工商部门对本市的甲、乙两家小型食品加工厂进行了突击抽查，从两个厂家生产的产品中分别随机抽取10件样品，测量该产品中某种微量元素的含量(单位：毫克)，所得测量数据如图．
食品安全法规定：优等品中的此种微量元素含量不小于15毫克．
(1)从甲食品加工厂抽出的上述10件样品中随机抽取4件，求抽到的4件产品优等品的件数ξ的分布列；
(2)若从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，求甲、乙食品加工厂抽到的优等品的件数恰好相同的概率．
解 (1)由茎叶图，从甲食品加工厂抽出的10件样品中，优等品有8件，非优等品有2件，故抽取的4件样品中至少有2件优等品，ξ的可能取值为2,3,4.
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,8)C\\al(2,2),C\\al(4,10))＝eq \f(2,15)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,8)C\\al(1,2),C\\al(4,10))＝eq \f(8,15)，P(ξ＝4)＝eq \f(C\\al(4,8)C\\al(0,2),C\\al(4,10))＝eq \f(1,3).
ξ的分布列为
(2)甲食品加工厂抽取的样品中优等品有8件，乙食品加工厂抽取的样品中优等品有7件．故从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，则优等品的件数相同时，可能为1件、2件或3件．
优等品同为3件的概率P1＝eq \f(C\\al(3,8)C\\al(0,2),C\\al(3,10))×eq \f(C\\al(3,7)C\\al(0,3),C\\al(3,10))＝eq \f(49,360)；
优等品同为2件时的概率P2＝eq \f(C\\al(2,8)C\\al(1,2),C\\al(3,10))×eq \f(C\\al(2,7)C\\al(1,3),C\\al(3,10))＝eq \f(49,200)；
优等品同为1件时的概率P3＝eq \f(C\\al(1,8)C\\al(2,2),C\\al(3,10))×eq \f(C\\al(1,7)C\\al(2,3),C\\al(3,10))＝eq \f(7,600).
故所求事件的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(49,360)＋eq \f(49,200)＋eq \f(7,600)＝eq \f(707,1800).
17．2017年3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaG与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaG获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1∶4.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝
eq \f(100×30×10－15×452,45×55×75×25)＝eq \f(100,33)≈3.030，
因为3.030