高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第11章　算法、复数、推理与证明11.2(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第11章　算法、复数、推理与证明11.2(教师版)，共7页。
一、选择题
1．i是虚数单位，若复数z满足zi＝－1＋i，则复数z的实部与虚部的和是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 复数z满足zi＝－1＋i，可得z＝eq \f(－1＋i,i)＝eq \f(－1＋ii,i·i)＝1＋i.故复数z的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.
2．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则eq \f(2,z)－z2的共轭复数是( )
A．－1＋3i B．1＋3i C．1－3i D．－1－3i
答案 B
解析 eq \f(2,z)－z2＝eq \f(2,1＋i)－(1＋i)2＝eq \f(21－i,1＋i1－i)－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B.
3．设复数z满足eq \(z,\s\up16(－))＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A.eq \r(2)－i B.eq \r(2)＋i C．1 D．－1－2i
答案 A
解析 复数z满足eq \(z,\s\up16(－))＝|1－i|＋i＝eq \r(2)＋i，则复数z＝eq \r(2)－i.故选A.
4．若z＝(a－eq \r(2))＋ai为纯虚数，其中a∈R，则eq \f(a＋i7,1＋ai)＝( )
A．i B．1 C．－i D．－1
答案 C
解析 ∵z为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq \r(2)，
∴eq \f(a＋i7,1＋ai)＝eq \f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq \f(\r(2)－i1－\r(2)i,1＋\r(2)i1－\r(2)i)＝eq \f(－3i,3)＝－i.故选C.
5．若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为( )
A.eq \f(\r(2)－1,2) B.eq \r(2)－1 C．1 D.eq \f(\r(2)＋1,2)
答案 A
解析 由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝eq \f(\r(2)＋i,1－i)＝eq \f(\r(2)＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(\r(2)－1,2)＋eq \f(\r(2)＋1,2)i，z的实部为eq \f(\r(2)－1,2)，故选A.
6．若z＝eq \f(2－i,2＋i)，则|z|＝( )
A.eq \f(1,5) B．1 C．5 D．25
答案 B
解析 解法一：z＝eq \f(2－i,2＋i)＝eq \f(2－i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i，故|z|＝1.故选B.
解法二：|z|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2－i,2＋i)))＝eq \f(|2－i|,|2＋i|)＝eq \f(\r(5),\r(5))＝1.故选B.
7．已知复数z的共轭复数为eq \(z,\s\up16(－))，若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3z,2)＋\f(\(z,\s\up16(－)),2)))(1－2eq \r(2)i)＝5－eq \r(2)i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \f(3z,2)＋eq \f(\(z,\s\up16(－)),2)＝2a＋bi，故2a＋bi＝eq \f(5－\r(2)i,1－2\r(2)i)＝1＋eq \r(2)i，
故a＝eq \f(1,2)，b＝eq \r(2)，则在复平面内，复数z对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，位于第一象限．故选A.
8．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2csθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
答案 C
解析 由复数相等的充要条件，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2csθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))化简得4－4cs2θ＝λ＋3sinθ，
由此可得λ＝－4cs2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4
＝4sin2θ－3sinθ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinθ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16)，因为sinθ∈[－1,1]，
所以λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)).故选C.
9．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i的“错位共轭”复数为( )
A．－eq \f(\r(3),6)－eq \f(1,2)i B．－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,2)i
C.eq \f(\r(3),6)＋eq \f(1,2)i D.eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,2)i
答案 D
解析 由(z－i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝1，可得z－i＝eq \f(1,\f(\r(3),2)－\f(1,2)i)＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i，
所以z＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,2)i.故选D.
10．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||，给出下列命题：
(1)对任意z∈C，都有D(z)>0；
(2)若eq \x\t(z)是复数z的共轭复数，则D(eq \x\t(z))＝D(z)恒成立；
(3)若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2；
(4)对任意z1，z2，z3∈C，结论D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋D(z2，z3)恒成立．
其中真命题为( )
A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(4)
C．(2)(4) D．(2)(3)
答案 C
解析 对于(1)，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(eq \x\t(z))＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B，D，故选C.
二、填空题
11．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
答案 eq \r(10)
解析 解法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，
∴|z|＝eq \r(－12＋32)＝eq \r(10).
解法二：|z|＝|1＋i||1＋2i|＝eq \r(2)×eq \r(5)＝eq \r(10).
12．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则eq \f(a,b)的值为________．
答案 2
解析 由(1＋i)(1－bi)＝a得1＋b＋(1－b)i＝a，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋1＝a，,1－b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))所以eq \f(a,b)＝2.
13．设a∈R.若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
答案 －1
解析 (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，
∵a∈R，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，
∴a＋1＝0，∴a＝－1.
14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋eq \f(5,z)是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．则z＝________.
答案 －1－2i或－2－i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，
则z＋eq \f(5,z)＝a＋bi＋eq \f(5,a＋bi)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(5,a2＋b2)))＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,a2＋b2)))i.
又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋eq \f(5,z)是实数，根据题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,a2＋b2)))＝0，,a＋3＝－b，))因为b≠0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝5，,a＝－b－3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1.))所以z＝－1－2i或z＝－2－i.
三、解答题
15．已知z是复数，z＋2i与eq \f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应点在第一象限．
(1)求z的值；
(2)求实数a的取值范围．
解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
又z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＋2＝0，
解得y＝－2.
∴eq \f(z,2－i)＝eq \f(x－2i,2－i)＝eq \f(x－2i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(2x＋2＋x－4i,5)，
∵eq \f(z,2－i)为实数，∴eq \f(x－4,5)＝0，解得x＝4.
∴z＝4－2i.
(2)∵复数(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i＝(12＋4a－a2)＋(8a－16)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋4a－a2>0，,8a－16>0，))解得2