高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第12章　选4系列12.1(教师版)

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1．在极坐标方程中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是( )
A．ρsinθ＝2 B．ρcsθ＝2
C．ρcsθ＝4 D．ρcsθ＝－4
答案 B
解析 ρ＝4sinθ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
选项B：ρcsθ＝2的普通方程为x＝2.
圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．故选B.
2．在极坐标系中，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－8，\f(11π,6)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7π,6)))，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
答案 C
解析 Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(5π,6)))，∴OA＝5，OB＝8，OC＝3，
∴∠AOB＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,2)＝eq \f(π,3)，∠BOC＝eq \f(7π,6)－eq \f(5π,6)＝eq \f(π,3)，∠AOC＝eq \f(7π,6)－eq \f(π,2)＝eq \f(2π,3)，
在△AOB中，由余弦定理可得AB＝eq \r(25＋64－2×5×8×\f(1,2))＝7，
同理可得，BC＝eq \r(64＋9－2×8×3×\f(1,2))＝7，
AC＝eq \r(25＋9－2×5×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝7，∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．故选C.
3．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝csθ＋sinθ和直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
(1)求O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解 (1)圆O：ρ＝csθ＋sinθ，即ρ2＝ρcsθ＋ρsinθ，
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，即ρsinθ－ρcsθ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).
4．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2csθ，ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解 (1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－eq \r(3)y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝eq \f(3,2)>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．
(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρρ0＝2，,θ＝θ0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ0＝\f(2,ρ)，,θ0＝θ.))①
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，
所以ρ0cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ0＋\f(π,3)))＝1，②
将①代入②，得eq \f(2,ρ)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，
即ρ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),2)))2＝1，因此点P的轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))为圆心，1为半径的圆．
5．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acsθ(a>0)，l：ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(3,2)，C与l有且仅有一个公共点．
(1)求a；
(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝eq \f(π,3)，求|OA|＋|OB|的最大值．
解 (1)曲线C：ρ＝2acsθ(a>0)，变形ρ2＝2aρcsθ，
化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.
∴曲线C是以(a,0)为圆心，a为半径的圆．
由l：ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(3,2)，展开为eq \f(1,2)ρcsθ＋eq \f(\r(3),2)ρsinθ＝eq \f(3,2)，∴l的直角坐标方程为x＋eq \r(3)y－3＝0.
由题可知直线l与圆C相切，即eq \f(|a－3|,2)＝a，解得a＝1.
(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋eq \f(π,3)，
则|OA|＋|OB|＝2csθ＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝3csθ－eq \r(3)sinθ
＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，
当θ＝－eq \f(π,6)时，|OA|＋|OB|取得最大值2eq \r(3).
6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2－4eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在圆C上，求x＋y的最大值和最小值．
解 (1)由ρ2－4eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＋6＝0，得
ρ2－4eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csθcs\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＋6＝0，
即ρ2－4eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csθ＋\f(\r(2),2)sinθ))＋6＝0，
ρ2－4ρcsθ－4ρsinθ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求圆的普通方程，
整理为圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝eq \r(2)csα，y－2＝eq \r(2)sinα.
得圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(2)csα，,y＝2＋\r(2)sinα))(α为参数)．
(2)由(1)得，
x＋y＝4＋eq \r(2)(csα＋sinα)＝4＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1时，x＋y的最大值为6，
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－1时，x＋y的最小值为2.
故x＋y的最大值和最小值分别是6和2.