2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第二章函数导数及其应用素养专题一化抽象为具体_抽象函数性质与应用

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所谓抽象函数，一般是指题设中只给出函数的一些性质(如单调性、周期性、奇偶性)，其函数的解析式不确定，要求考生根据已知的性质探索该函数的其他性质的问题．明确了“抽象”与“具体”之间的联系，我们就可以通观全局，整体把握，局部入手．
解析：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0).因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)要判断f(x)的单调性，可任取x1，x2∈R，且设x1＜x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)上，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1).由于x2－x1＞0，所以1＞f(x2－x1)＞0.要比较f(x2)、f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．
[点评]　本题主要考查了利用定义法求解抽象函数值，考查了函数单调性的判断与证明．
解析：∵f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，关于x＝0对称，∴y＝f(x)关于x＝1对称．
[点评]　通过画出函数图象，研究抽象函数不等式可起到事半功倍的效果．
(3)已知函数f(x)对于任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，有f(x)＜0.①判断f(x)的奇偶性与单调性，并证明你的结论；②若不等式f(x)＋f(x－2)＜f(a＋1)恒成立，求a的范围．解析：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)⇒f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．设x1＞x2，则x1－x2＞0，由条件得f(x1－x2)＜0，
因此f(x1)＋f(－x2)＜0，即f(x1)＜－f(－x2)＝f(x2)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(2)由f(x)＋f(x－2)＜f(a＋1)得f[x(x－2)]＜f(a＋1)，所以x(x－2)＞a＋1恒成立，所以a＜x2－2x－1恒成立，所以a＜(x－1)2－2恒成立，所以a＜－2.