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2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第六章不等式推理与证明第五节推理与证明
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这是一份2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第六章不等式推理与证明第五节推理与证明，共60页。PPT课件主要包含了类似特征，一般原理，特殊情况，假设Q不成立，第一个值n0，n＝k＋1，答案A，答案B，答案D，答案C等内容，欢迎下载使用。
2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到______的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的____________；②小前提——所研究的____________；③结论——根据____________，对特殊情况做出的判断．
1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑．如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
4.间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去________________(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出______，因此说明非Q是______的，从而断定结论Q是______的，这种证明方法叫做反证法．
5．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取____________(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对_____________________都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
从n0开始的所有正整数n
1.(基本方法：归纳推理)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的解析式是( )A．an＝3n－1 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1
2．(基础知识：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．结论正确
3．(基本能力：类比推理)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( )A．1∶8 B．8∶1C．4∶1 D．1∶4
[典例剖析]类型 1 归纳推理[例1] (1)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是
题型一 合情推理与演绎推理
一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )
解析：由题图可知，每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1，所以n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.
(2)(2021·湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……
观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k＋1)个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为__________．
解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x7项的系数为30＋45a＝75，得a＝1.
类型 2 类比推理[例2] (1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )
类型 3 演绎推理[例3] (1)(2021·河南洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选项A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故选项A错误；选项CD都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以选项CD都不正确，只有选项B正确．
(2)下面四个推理中，不属于演绎推理的是( )A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1，1]，2x－1∈R，所以y＝sin (2x－1)(x∈R)的值域为[－1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此
D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析：选项C中的推理属于合情推理中的类比推理，选项ABD中的推理都是演绎推理．答案：C
方法总结1．归纳推理问题的常见类型及解题策略：(1)与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
(2)与式子有关的归纳推理：①与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解．(3)与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
2．类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不便发现新结论．
[题组突破]1．(2021·福建泉州模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cs θ，b＝sin θ＋cs θ，c＝cs θ－sin θ，对方的三个数及排序如表：
2．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________________．解析：因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
题型二 直接证明与间接证明
方法总结1．综合法的推理方式：(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
2．分析法的思路：“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．3．(1)反证法的适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证．
(2)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．4．数学归纳法主要是用来证明与自然数有关的等式、不等式、数列的归纳猜想等，常与数列结合起来，关键是第二步，归纳假设的应用．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i＜j＜k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )
2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到______的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的____________；②小前提——所研究的____________；③结论——根据____________，对特殊情况做出的判断．
1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑．如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
4.间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去________________(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出______，因此说明非Q是______的，从而断定结论Q是______的，这种证明方法叫做反证法．
5．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取____________(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对_____________________都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
从n0开始的所有正整数n
1.(基本方法：归纳推理)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的解析式是( )A．an＝3n－1 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1
2．(基础知识：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．结论正确
3．(基本能力：类比推理)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( )A．1∶8 B．8∶1C．4∶1 D．1∶4
[典例剖析]类型 1 归纳推理[例1] (1)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是
题型一 合情推理与演绎推理
一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )
解析：由题图可知，每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1，所以n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.
(2)(2021·湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……
观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k＋1)个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为__________．
解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x7项的系数为30＋45a＝75，得a＝1.
类型 2 类比推理[例2] (1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )
类型 3 演绎推理[例3] (1)(2021·河南洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选项A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故选项A错误；选项CD都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以选项CD都不正确，只有选项B正确．
(2)下面四个推理中，不属于演绎推理的是( )A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1，1]，2x－1∈R，所以y＝sin (2x－1)(x∈R)的值域为[－1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此
D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析：选项C中的推理属于合情推理中的类比推理，选项ABD中的推理都是演绎推理．答案：C
方法总结1．归纳推理问题的常见类型及解题策略：(1)与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
(2)与式子有关的归纳推理：①与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解．(3)与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
2．类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不便发现新结论．
[题组突破]1．(2021·福建泉州模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cs θ，b＝sin θ＋cs θ，c＝cs θ－sin θ，对方的三个数及排序如表：
2．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________________．解析：因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
题型二 直接证明与间接证明
方法总结1．综合法的推理方式：(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
2．分析法的思路：“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．3．(1)反证法的适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证．
(2)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．4．数学归纳法主要是用来证明与自然数有关的等式、不等式、数列的归纳猜想等，常与数列结合起来，关键是第二步，归纳假设的应用．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i＜j＜k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )
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