2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第七章立体几何素养专题六立体几何问题的奇法妙解

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[例1]　如图所示，正四面体D­ABC的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是(　　)
解析：∵四面体D­ABC为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥平面OBC，BC⊂平面OBC，∴OA⊥BC，过点O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于点M(图略)，
由三垂线定理的逆定理可知BC⊥AM，∴M为BC的中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB的中点，∴N为底面△ABC的中心，∴O­ABC是正三棱锥，故选项A正确．将正四面体D­ABC放入正方体中，如图所示，显然，OB与平面ACD不平行．故选项B正确．
[点评]　在进行空间线面位置关系的分析判断时，借助几何体模型能起到非常直观的作用，提高解题的准确率．
[例2]　已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
[思路点拨]　根据三视图可以判断该空间几何体是正方体的一部分，先画出正方体，再根据三视图确定空间几何体．
[点评]　空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分，根据题目的实际情况，判断其可能是哪个几何体的一个部分，利用该几何体为模型，可以较为方便地判断出三视图表示的空间几何体．
素养2　割补法当求某些几何体的体积较困难时，可以将它们放置在我们熟悉的几何体中，如正方体、长方体等对称性比较好的几何体，以此来求几何体的体积．常见情况如下：(1)将正四面体补为正方体，如图所示．
(2)将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图所示．
(3)将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图所示，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC.
(4)将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图①②所示．
(5)将三棱柱补成平行六面体，如图所示．
(6)将台体补成锥体，如图所示．
[例3]　如图所示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．[思路点拨]　该几何体为不规则几何体，可将其分割为规则几何体后求体积．
法二：如图②，设点G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，HG，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH­FBC和四棱锥E­AGHD.
[点评]　把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体，求出每个规则几何体的体积，然后进行体积求和即可．
解析：(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，点D为AC的中点，所以AC⊥DO.又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.因为DO∩PO＝O，DO⊂平面PDO，PO⊂平面PDO，所以AC⊥平面PDO.
[点评]　涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时，常把空间几何体的表面展开．
解析：∵直线AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝GH，∴HG∥AB.同理，EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，∴FG∥EH，EF∥HG，故四边形EFGH为平行四边形．利用AD＝BD，AC＝BC，易证得AB⊥CD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH为矩形．设BF∶BD＝BG∶BC＝FG∶CD＝x(0≤x≤1)，