冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后复习题

九年级数学下册第三十章二次函数专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、对于抛物线下列说法正确的是（       ）

A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点

2、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ）

A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1

3、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　）

A．4米 B．10米 C．4米 D．12米

4、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（       ）

A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0

5、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

6、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

7、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（       ）

A．1 B．-1 C． D．无法确定

8、抛物线的对称轴是（     ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

9、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（       ）

A．2 B． C．4 D．

10、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（       ）

A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0

C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，抛物线与轴交于点，，若对称轴为直线，点的坐标为（-3，0），则不等式的解集为______．

2、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．

3、如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1_____y2．（填“＞”或“＜”）

4、抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为______

5、已知二次函数，当时，函数的值是_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．

(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．

2、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；

(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；

(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．

3、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；

(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；

(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是位于x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴，垂足为点E．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点P，使得以A、P、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，说明理由；

(3)是否存在点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，

∴A选项不正确；

由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；

由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；

在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．

【详解】

解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大

∴点A对称的点的坐标为

∵

∴

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．

3、B

【解析】

【分析】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．

【详解】

解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为y＝ax2，

∵O点到水面AB的距离为4米，

∴A、B点的纵坐标为﹣4，

∵水面AB宽为20米，

∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），

将A代入y＝ax2，

﹣4＝100a，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2，

∵水位上升3米就达到警戒水位CD，

∴C点的纵坐标为﹣1，

∴﹣1＝﹣x2，

∴x＝±5，

∴CD＝10，

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．

4、D

【解析】

【分析】

由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．

【详解】

解：二次函数的图象全部在轴的上方，

，，

，

，

．

，．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．

5、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

6、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；

【详解】

当a＞0时，∵对称轴为x=，

当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，

∴4a+2-2=4．

∴a=1，

当a＜0时，同理可得

y有最大值为2； y有最小值为4a+2，

∴2-(4a+2)=4，

∴a=-1，

综上，a的值为

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

由抛物线解析式的顶点式即可求得抛物线的对称轴．

【详解】

抛物线的对称轴是直线，

故选：B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图象与性质，当抛物线的解析式为时，对称轴为直线；当抛物线的解析式为时，对称轴为直线x=h．

9、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.

【详解】

解： 二次函数的图象经过，，

二次函数图象的对称轴为：

解得：

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.

10、C

【解析】

【分析】

根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．

【详解】

解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，

∵-2＜0＜2＜3＜5，

∴y3＜y2＜y4＜y1，

若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，

若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，

若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，

若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，进而求解．

【详解】

解：函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，

观察函数图象知，不等式的解集为：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

2、（1，3）

【解析】

【分析】

根据顶点式判断顶点即可．

【详解】

解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3

∴顶点坐标是（1，3）．

故答案为：（1，3）

【点睛】

本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．

3、＜

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．

【详解】

解：∵y＝（x+1）2，

∴a＝1＞0，

∴抛物线开口向上，

∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，

∵﹣1＜2＜3，

∴y1＜y2．

故答案为＜．

【点睛】

本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得的值，进而求得顶点坐标．

【详解】

抛物线的对称轴是直线

即抛物线解析式为

当时，

它的顶点坐标为

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求得的值是解题的关键．

5、-1

【解析】

【分析】

将x的值代入计算即可；

【详解】

解：当时

==-1

故答案为：-1

【点睛】

本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)AD=20米；

(2)当x=100时，S最大=5000米2．

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；

（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=然后配方为S即可．

(1)

解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，

∴根据题意得：，

整理得，

解得：，

∵a＝30，

∴AD=20米；

(2)

解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，

则S=，

∵a＝150＞100，

∴当x=100时，S最大=5000米2．

【点睛】

本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．

2、 (1)

(2)证明见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；

（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；

（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．

(1)

解：∵，

∴根据函数图象的性质可知，当时，，

∵

∴

解得．

(2)

证明：如图，分别过点作交点分别为

∴

设两点横坐标分别为，

由题意知：

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴

∴．

(3)

解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，

∵

∴

∴有相同的纵坐标

∴

解得

故可知点横纵标

∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标

∴

解得．

【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．

3、 (1)

(2)当时，有最大值，此时点的坐标为

(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；

（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；

（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．

(1)

解：抛物线经过点，，，

，解得．

抛物线的解析式为：；

(2)

如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得

，解得，

直线的解析式为：．

设点坐标为，则点的坐标为，

．

，

，

当时，有最大值，此时点的坐标为；

(3)

解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：

，

顶点的坐标为，

，

．

设点的坐标为，分三种情况进行讨论：

①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，

即，

解得或，

所以点的坐标为或；

综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．

4、 (1)；

(2)（）；

(3)点P（2，-6），PD最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；

（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．

(1)

解：∵点的坐标为，

∴OB=1，

∵，

∴OA=OC=4，

∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),

将点A、B、C的坐标代入中，得

，解得，

∴抛物线的解析式为；

(2)

解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，

设直线AC的解析式为，

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=x-4，

当时，，

∴点M的坐标为（）；

(3)

解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠PHD=∠OCA=45°，

设点P（x，），则点H（x，x-4），

∴，

∵，

∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，

此时点P（2，-6）．

．

【点睛】

此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．

5、 (1)y=-x2-2x+3

(2)P1（-2，3）或P2(，)

(3)点P的坐标为（-，），理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c求出b、c的值即可求出该函数表达式；

（2）设P（m，-m2-2m+3），表示出PE、AE的长，分或两种情况讨论即可找到P的坐标；

（3）连接AC交PE于点H，把四边形分成两部分，表示出S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC即可根据二次函数最值找到P的坐标．

(1)

把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；

(2)

∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），

∴OC=3，OB=1，

∴设P（m，-m2-2m+3），

∴PE=-m2-2m+3，AE=m+3，

根据题意得：，

解得：m1=-2，m2=-3（舍去），

∴-m2-2m+3=

∴P1（-2，3），

或，

解得：m1＝，m2＝−3（舍去），

∴

∴P2(，)，

综上，点P坐标为P1（-2，3）或P2(，)．

(3)

连接AC交PE于点H，

由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的表达式为：y=x+3，

设P（m，-m2-2m+3），则H（m，m+3），

∴PH=-m2-3m

∴S△PAC＝⋅(−m2−3m)×3

∴S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC=

当m＝−时，S最大＝，此时点P的坐标为（-，）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．