初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀同步达标检测题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀同步达标检测题，共36页。
九年级数学下册第三十章二次函数同步练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
3、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　）

A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
5、抛物线y＝x2+4x+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，1）
6、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
－3
－2
－1
0
1
…

…
－11
－3
1
1
－3
…
对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
7、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
8、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）

A．14 B．11 C．6 D．3
9、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．无法确定
10、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．
2、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．

3、二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为______．

4、某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．
5、已知二次函数，若，则y的取值范围是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；
(2)若 ，求点P的坐标；
(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
2、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，过点的直线交抛物线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），求面积的最大值；
(3)若点在抛物线上，点在直线上．试探究：是否存在点，，使得，同时成立？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图1，抛物线C1： y＝ax2+bx+2与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，2）．

(1)求二次函数表达式；
(2)若点P为抛物线上第四象限内的点，且S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2，使点A的对应点为点D，抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点A．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．
4、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．
(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．
5、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；
(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据增长率问题的计算公式解答．
【详解】
解：第2年的销售量为，
第3年的销售量为，
故选：B．
【点睛】
此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；
再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
【点睛】
本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
3、D
【解析】
【分析】
先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．
【详解】
解：∵，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】
解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．
5、D
【解析】
【分析】
利用顶点公式（﹣，），进行解题．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2+4x+5
∴x＝﹣＝﹣＝﹣2，y=＝1
∴顶点为（﹣2，1）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的顶点公式为（﹣，）．
6、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】
解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，
∴二次函数式为：
∵
∴二次函数的图像开口向下，故①正确；
∵
∴对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，二次函数的最大值是，故③错误；
若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、D
【解析】
【分析】
求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，
∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【详解】
解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】
当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】
解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．
【详解】
解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2、③④⑤
【解析】
【分析】
先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向下可得：
二次函数的图象与轴交于正半轴，可得
二次函数的对称轴为： 可得
所以： 故①不符合题意；
由图象可得：在第三象限，

故②不符合题意；
由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，
点在第一象限，
故③符合题意；
在第四象限，

抛物线的对称轴为：


故④符合题意；
当时，，
当，
此时：
故⑤符合题意；
综上：符合题意的有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.
3、y=－x2－2x+3
【解析】
【分析】
根据图象与x、y轴的交点坐标和对称轴，利用待定系数法求二次函数的解析式即可．
【详解】
解：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
由图象知：当x=1时，y=0，当x=0时，y=3，又对称轴为直线x=－1，
则，解得：，
∴该二次函数的解析式为y=－x2－2x+3，
故答案为：y=－x2－2x+3．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键．
4、
【解析】
【分析】
某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案.
【详解】
解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为

故答案为：
【点睛】
本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键.
5、
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．
【详解】
解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，
∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，
当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，
∴y的取值范围是-3≤y≤6，
故答案为：-3≤y≤6．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题
1、 (1)；
(2)P(，﹣2)；
(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．
【解析】
【分析】
（1）由题意及抛物线解析式可得：，而OA=2OC=8OB，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；
（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；
（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与∆PHC底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．
(1)
解：抛物线，则，
∴，
∵OA=2OC=8OB，
∴，，
∴点A、B、C的坐标分别为、、，
∴，
将代入可得-2=a0+40-12，
解得：，
∴y=x+4x-12=x2+72x-2，
故抛物线的表达式为：；
(2)
解：，
其中：，，，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴点P、C的纵坐标相同，
∴根据函数的对称性得点；
(3)
解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，
将点、代入可得：
0=-4k+b-2=b，
解得：，
直线AC的解析式为：，
∴，
∴，
，
=12×4×(-12x-2-x2-72x+2)，
，
∵，
∴当时，，此时面积最大，
当时，
，
∴，
答：的面积最大为8，此时点．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．
2、 (1)
(2)
(3)存在，．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2-2m-3），则点E （m，，可得出PE=，再通过解方程组求出点C的坐标为，利用三角形面积公式和二次函数性质即可得出答案；
（3）设M（t，t2-2t-3），N（n，，作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，证明△OGM≌△OHN（AAS），得出GM=NH，OG=OH，建立方程组求解即可．
(1)
将点，代入中，得：

解得，
∴该抛物线表达式为：
(2)
如图1，过点P作PD//y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作于点F，连接PB，PC，

设点，则点，
∴
联立方程组
解得，，
∵点B的坐标为（3，0）
∴点C的坐标为
∴
∴


(其中)
∵
∴这个二次函数有最大值，
∴当时，的最大值为；
(3)
存在，
①如图②，

设，N（n，，
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM=∠OHN=90°，
∵OM=ON，∠MON=90°，∠GOH=90°，
∴∠MOG=∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM=NH，OG=OH，
∴，
解得：，，
∴N1（3，0），N2，
②如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，，

作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM=∠OHN=90°，
∵OM=ON，∠MON=90°，∠GOH=90°，
∴∠MOG=∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM=NH，OG=OH，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点N的坐标为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、几何图形的旋转、全等三角形的判定与性质及一元二次方程等知识点，运用数形结合思想、分类讨论思想及熟练掌握全等三角形判定和性质及二次函数性质是解题的关键．
3、 (1)抛物线
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）把点和点的坐标代入解析式，建立方程组求解即可；
（2）过点作的平行线与抛物线的交点即为点，求出直线的解析式，令，求解即可；
（3）根据题意可求出抛物线的对称轴即抛物线的解析式，并求出封闭图形的端点，点和点，根据一次函数的性质，可以求得的取值范围．（）
(1)
解：抛物线过点，点，
，解得，
抛物线；
(2)
由（1）可知，抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
，顶点坐标为，
令，可得，
，
直线的解析式为：，
如图，过点作的平行线，交抛物线于点，点即为所求；

直线的解析式为：，
令，
解得或0（舍去），
，
；
(3)
点到点，函数向右移动了3个单位，向上移动了2个单位，
则抛物线的顶点为，即为，
抛物线的解析式为：，

；
当直线经过点，点时，
，解得，
当直线经过点，点时，
，解得，
结合图象可知，若直线与图形有公共点，的取值范围或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合思想，图象的平移等知识，（3）中求出点和点的坐标，利用数形结合思想得出结论是解题关键．
4、 (1)，C（1，0）；
(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；
(3)Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）
【解析】
【分析】
（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．
（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．
（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．
(1)
解：如图1，

∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴C（1，0）；
(2)
解：如图2，

设D（t，0），
∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），
∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；
△ABP的形状为直角三角形，
证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，
∴BA2+BP2＝AP2，
∴△ABP的形状为直角三角形；
(3)
解：如图，过P作AB的平行线l，

设直线l的解析式为：y＝x+m，
代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，
解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，
∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，
∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，
∴直线l'：y＝x，
令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，
解得：x＝﹣2+2或﹣2﹣2，
∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣2+2）或（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
【点睛】
此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．
5、 (1)
(2)当时，有最大值，此时点的坐标为
(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
(1)
解：抛物线经过点，，，
，解得．
抛物线的解析式为：；
(2)
如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得
，解得，
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值，此时点的坐标为；
(3)
解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．