初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品练习

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品练习，共37页。试卷主要包含了抛物线的对称轴是，二次函数图像的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
2、已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
4、抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（ ）
A． B．5 C．或5 D．5或
7、二次函数图像的顶点坐标是（ ）
A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）
8、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
9、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（ ）
A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．
2、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．

3、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．
4、抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为______
5、当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；
(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；
(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．
2、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．

3、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为的中点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
5、问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．
(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．
(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．

(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．
(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：∵y=2（x-1）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
2、C
【解析】
【分析】
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
【详解】
解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．
【详解】
解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
与异号，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，
①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．
②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．
当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）
③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
4、C
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．
【详解】
解：，
其中：，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．
5、B
【解析】
【分析】
①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
【详解】
解：①∵函数图象开口向下
∴
又函数的对称轴在y轴右侧，
∴
∴
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴
即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．
6、D
【解析】
【分析】
根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．
【详解】
解：当x＜3时，
令2x2-3=15，
解得x=-3；
当x≥3时，
令3x=15，
解得x=5；
由上可得，x的值是-3或5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
7、C
【解析】
【分析】
直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．
8、D
【解析】
【分析】
分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∴BD=2AD=8，
当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE
=•（8-2t）•（4-t）•sin60°
=（4-t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’
=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°
=-t2+t-16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
9、C
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.
【详解】
解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），
抛物线的对称轴为： 故①符合题意；


当时，
所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；
当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而
故③符合题意；
当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由
则或 故④符合题意，
综上：符合题意的有：①③④
故选：C
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.
10、D
【解析】
【分析】
由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．
【详解】
解：二次函数的图象全部在轴的上方，
，，
，
，
．
，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．
二、填空题
1、，
【解析】
【分析】
从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．
【详解】
解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，

整理得，
②×3+①，得
∴
把代入②得，
∴
又
∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为：
即：
∴
∴，或
解得，，
故答案为：，
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．
2、③④⑤
【解析】
【分析】
先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向下可得：
二次函数的图象与轴交于正半轴，可得
二次函数的对称轴为： 可得
所以： 故①不符合题意；
由图象可得：在第三象限，

故②不符合题意；
由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，
点在第一象限，
故③符合题意；
在第四象限，

抛物线的对称轴为：


故④符合题意；
当时，，
当，
此时：
故⑤符合题意；
综上：符合题意的有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.
3、2
【解析】
【分析】
首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．
【详解】
解：∵
∴，代入得：
∴抛物线的顶点坐标为
∵当时，即，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为和
∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，
∴，即
解得：．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．
4、
【解析】
【分析】
根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得的值，进而求得顶点坐标．
【详解】
抛物线的对称轴是直线

即抛物线解析式为
当时，
它的顶点坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求得的值是解题的关键．
5、4
【解析】
【分析】
先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值．
【详解】
解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4，
函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3，
当函数值都随着x的增大而减小，
则x≥4，即m的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
三、解答题
1、 (1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；
（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；
（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．
(1)
解：∵，
∴根据函数图象的性质可知，当时，，
∵
∴
解得．
(2)
证明：如图，分别过点作交点分别为

∴
设两点横坐标分别为，
由题意知：
∴，
∵
∴

∵，
∴
∴
∴．
(3)
解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，
∵
∴
∴有相同的纵坐标
∴
解得
故可知点横纵标
∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标
∴
解得．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．
2、y＝﹣x2﹣2x+3
【解析】
【分析】
根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．
【详解】
解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，
设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，
代入点(0,3)，
则3＝a(0+3)(0﹣1)，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，
整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．
3、 (1)
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；
（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；
（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．
(1)
解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
令，得
即
令，即
解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
(2)
点P是直线上一动点，直线的解析式为
设点，
点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，
则在上
即
解得
或
或
(3)
依题意，设点，
设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
PEBC
设直线的解析式为
令，，则点的坐标为
，，
PEBC






是直角三角形


将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，
,

与点重合，
则
，

解得

或

即或
解得或
或

【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．
4、 (1)
(2)最大值为2
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入得方程组，求解即可；
（2）分别求出点B，C，D的坐标，运用待定系数法求出BC解析式，设，则，，根据三角形面积公式可得二次函数关系式，配方求解即可；
（3）分两种情况：①若AD是平行四边形的对角线，②若AD是平行四边形的边，分别进行讨论即可．
(1)
将，代入
，
解这个方程组得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)
在中，当时，，
∴，
∵点D为线段BC的中点，且，
∴，即，
设直线BC的解析式为，
将，代入得，

解得，
∴直线BC的解析式为，
过点作轴交于点，

设，则


，
当时，有最大值为2
(3)
满足条件的点的坐标为：，，
由可得对称轴为：直线，
设，又，
①若AD是平行四边形的对角线，
当MN与AD互相平分时，四边形ANDM是平行四边形，

即MN经过AD的中点（），即（0，-1）
∴
∴n=-1，
∴，
②若AD是平行四边形的边，
Ⅰ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形ANMD是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1-4=-3，
∴
∴点N的坐标为；
Ⅱ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形AMND是平行四边形，

∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为1+4=5，
∴
∴点N的坐标为；
综上所述，点M的坐标为，，．
【点睛】
本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
5、 (1)
(2)见解析
(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
(4)
【解析】
【分析】
（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；
（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；
（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；
（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．
(1)
解：令，
整理得：，
可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，
故答案为：；
(2)
解：先在坐标轴上描出点，
再连线即可，如下图：

(3)
解：如图：

当时，与有一个交点，
当时，与有两个交点，
当时，与有一个交点，
综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
(4)
解：如下图：

当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；
当时，（其中，m为常数）与没有公共点；
要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足
且，
解得：且，
，
故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．