数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀当堂检测题

九年级数学下册第三十章二次函数章节测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（       ）

A． B． C．3 D．或3

2、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）

A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1

4、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（       ）

A．①② B．③④ C．①③ D．①②④

5、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

7、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（       ）

A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0

C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0

8、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（       ）

A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒

9、抛物线y＝x2+4x+5的顶点坐标是（　　）

A．（2，5） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，1）

10、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ）

A．  B．

C．  D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线，将此二次函数解析式用配方法化成的形式得__________，此抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_____________．

2、如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_______米．（结果保留根号）

3、若关于的函数与轴只有一个交点，则实数的值为____．

4、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．

5、已知二次函数，当自变量x分别取1、4、5时，对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系是________（用“＜”号连接）．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、己知二次函数．

(1)若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；

(2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．

2、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；

(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

3、如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，，DC．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为时，求m的值；

(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；

(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？

5、高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y（盒）与销售单价x（元/盒）的关系满足一次函数，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒．

(1)若该专卖店某天获利800元，求销售单价x（元/盒）的值；

(2)当销售单价x定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？

(3)若该专卖店决定每销售一盒就捐出元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m的取值范围为______．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．

【详解】

解：，

向左平移个单位后的函数解析式为，

函数图象经过坐标原点，

，

解得．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

2、D

【解析】

【分析】

先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．

【详解】

解：∵，

∴对称轴为直线x＝b，开口向下，

在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1不在对称轴左侧，

∴b≤1，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．

【详解】

解：由题意知平移后的函数关系式为：，

故选D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．

4、A

【解析】

【分析】

根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．

【详解】

解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，

∴二次函数式为：

∵

∴二次函数的图像开口向下，故①正确；

∵

∴对称轴为直线

∴当时，随的增大而减小，故②正确；

当时，二次函数的最大值是，故③错误；

若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误

∴正确的是①②

故答案为①②

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

5、C

【解析】

【分析】

由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．

【详解】

解：，

抛物线开口向上，对称轴为，

当时，随的增大而减小，

在时，随的增大而减小，

，

解得，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．

6、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

7、C

【解析】

【分析】

根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．

【详解】

解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，

∵-2＜0＜2＜3＜5，

∴y3＜y2＜y4＜y1，

若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，

若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，

若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，

若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

8、A

【解析】

【分析】

根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．

【详解】

解：由题意得，

当h=3时，，

解得，

∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

利用顶点公式（﹣，），进行解题．

【详解】

解：∵抛物线y＝x2+4x+5

∴x＝﹣＝﹣＝﹣2，y=＝1

∴顶点为（﹣2，1）

故选：D．

【点睛】

此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的顶点公式为（﹣，）．

10、D

【解析】

【分析】

根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.

【详解】

解：选项A：由的图象可得：

由的图象可得：则 故A不符合题意；

选项B：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；

选项C：由的图象可得：

由的图象可得：则 故C不符合题意；

选项D：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.

二、填空题

1、         

【解析】

【分析】

（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将与分别代入二次函数解析式中，计算出与的值，并比较大小．

【详解】

（1）解：，

故答案为：．

（2）当 时，

当时，

∴ 与的大小关系是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．

2、6

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．

【详解】

建立平面直角坐标系如图：

则抛物线顶点C坐标为（0，3），

设抛物线解析式y＝ax2+3，

将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，

解得：a＝﹣，

故抛物线解析式为y＝﹣x2+3，

当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离，

也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离，

将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，

解得：x＝±，

所以水面宽度为米，

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．

3、1

【解析】

【分析】

对于二次函数解析式，令得到关于的一元二次方程，由抛物线与轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出的值．

【详解】

解：对于二次函数，

令，得到，

二次函数的图象与轴只有一个交点，

△，

解得：，

故答案为：1．

【点睛】

此题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．

4、2

【解析】

【分析】

首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．

【详解】

解：∵

∴，代入得：

∴抛物线的顶点坐标为

∵当时，即，

解得：，

∴抛物线与x轴两个交点坐标为和

∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，

∴，即

解得：．

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．

5、y1＜y2＜y3

【解析】

【分析】

利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1，y2，y3的值，结合a＞0，即可得出a+c＜4a+c＜9a+c，即y1＜y2＜y3．

【详解】

解：当x=1时，y1=a（1-2）2+c=a+c；

当x=4时，y2=a（4-2）2+c=4a+c；

当x=5时，y3=a（5-2）2+c=9a+c．

∵a＞0，

∴a+c＜4a+c＜9a+c，

∴y1＜y2＜y3．

故答案为：y1＜y2＜y3．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y1，y2，y3的值是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)y= x 2−2x−3

(2)

【解析】

【分析】

（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；

（2）根据二次函数的性质可得问题的答案.

(1)

解：由题意，得：a=1，b=−k，c= k−5；

∴对称轴x=，

解得：k=2，

∴二次函数解析式y= x 2−2x−3；

(2)

解：二次函数，a=1>0，

∴其图象开口向上，

∵时，y随x 的增大而减小，

∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，

∴，

解得：.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．

2、 (1)；

(2)（）；

(3)点P（2，-6），PD最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；

（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．

(1)

解：∵点的坐标为，

∴OB=1，

∵，

∴OA=OC=4，

∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),

将点A、B、C的坐标代入中，得

，解得，

∴抛物线的解析式为；

(2)

解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，

设直线AC的解析式为，

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=x-4，

当时，，

∴点M的坐标为（）；

(3)

解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠PHD=∠OCA=45°，

设点P（x，），则点H（x，x-4），

∴，

∵，

∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，

此时点P（2，-6）．

．

【点睛】

此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．

3、 (1)

(2)m＝

(3)存在，M点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）把，代入中进行求解即可；

（2）如图，连接，求解对称轴为， 由题意可知，，，结合，与，利用即可得到答案；

（3）由（2）得：D点为，再分两种情况讨论，①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形的性质与抛物线的性质可得关于抛物线的对称轴对称，重合， 设点， 如图，当在轴的下方时，由平行四边形对角线中点坐标相同得到，， 解方程求解，可得，；②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，同理可得关于抛物线的对称轴对称，从而可得 从而可得答案．

(1)

（1）把，代入：

，

解得：

∴抛物线表达式为：；

(2)

如图，连接，

∵抛物线解析式为：，且抛物线与y轴交于点C

∴抛物线的对称轴为，

∴OC=4，

∵点D的横坐标为m，

∴，

∵，，

∴AO=1，BO=2，

∴

又∵

∴，

解得：，，

当时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取，

综上，；

(3)

当时，

D点为，

①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，

由平行四边形可得，

关于抛物线的对称轴对称，

重合，

如图，当在轴的下方时，设点， ，

∴，（平行四边形对角线中点坐标相同），

∴，

解得或

∴或，

∴或；

②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，

∴，关于抛物线的对称轴对称，

，

综上，点的坐标为： 或或或．

【点睛】

主要考查了二次函数的综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

4、 (1)

(2)货车可以通过，说明见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为，将A点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；

（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较与2.4的大小即可判断货车是否可以通过．

(1)

解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）

设抛物线的解析式为

又∵点A（0，2）在抛物线上

∴

解得

∴抛物线的表达式为：．

(2)

解：令y=4，则有

解得，

∵

∴货车可以通过．

【点睛】

本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．

5、 (1)60或80

(2)当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元

(3)

【解析】

【分析】

（1）利用利润等于每天的销售额减去总成本，列出方程，即可求解；

（2）设该专卖店每天获利 元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解；

（3）设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．

(1)

解：根据题意得：

，

解得： ，

答：若该专卖店某天获利800元，销售单价为60或80元/盒；

(2)

解：设该专卖店每天获利 元，根据题意得：

，

∴当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元；

(3)

解：设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意得：

，

∵ ，

∴该图象开口向下，对称轴为： ，

根据题意得：当 时， 随 的减小而增大，

∴ ，解得： ，

∵ ，

∴m的取值范围为 ．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．