初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀同步测试题

九年级数学下册第三十章二次函数同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

2、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

3、一次函数与二次函数的图象交点（　　）

A．只有一个 B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

4、对于抛物线下列说法正确的是（       ）

A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点

5、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（       ）

A． B．

C． D．

6、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

7、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

8、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0：③9a＋3b＋c＜2；④3a＋c＜0；⑤若（﹣，y1），（﹣，y2），（4，y3）是抛物线上的点，则y3＜y1＜y2，其中正确结论的个数是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

9、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．6 D．3

10、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（       ）

A．1 B．-1 C． D．无法确定

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．

2、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是______．

3、已知抛物线，点在抛物线上，则的最小值是______．

4、抛物线与y轴的交点坐标为_________．

5、最大值与最小值之和为_________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；

(3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．

2、已知二次函数的图象经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线．

(1)求，的值，

(2)如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与二次函数的图象相交于另一点，若点与点关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．

(3)根据函数图象直接写出时，的取值范围．

3、如图，直线AB与抛物线y＝x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；

(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；

(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

5、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．

(1)求这条抛物线的解析式．

(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．

【详解】

解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，

；；；

所以，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．

2、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．

【详解】

解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：

整理得：

有两个不相等的实数根

与的图象交点有两个

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．

4、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，

∴A选项不正确；

由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；

由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；

在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为 ，

∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，

∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，

∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．

故选：C

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．

6、D

【解析】

【分析】

由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.

【详解】

解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，

其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），

所以可设交点式y=（x-m）（x-n），

分别代入，，

∴

∵0＜m＜n＜3，

∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，

∵m＜n，

∴ab不能取16 ，

∴0＜ab＜16 ，

故选D

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.

7、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

8、B

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据函数的对称性和增减性即可判断③；根据抛物线的对称轴为直线x=1，得出b=-2a，由x=-1时，y=a-b+c＜0，即可得出3a+c＜0，即可判断④；根据二次函数的性质即可判断⑤．

【详解】

解：∵对称轴是直线x=1，且经过点（0，2），

∴左同右异ab＜0，c＞0，

∴abc＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2-4ac＞0，所以②正确；

∵抛物线对称轴是直线x=1，

∴x=-1与x=3的函数值一样，x=0与x=2的函数值都是2，

∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大，

∴9a+3b+c＜2，所以③正确；

∵对称轴为x=1，

∴=1，即b=-2a，

∵x=-1时，y=a-b+c＞0，

∴3a+c＞0，所以④错误；

∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大，

∵点（4，y3）关于直线x=1的对称点为（-2，y3），且，

∴y1＜y3＜y2，所以⑤不正确；

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与x轴的交点与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．

9、C

【解析】

【分析】

将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．

【详解】

解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2

∴函数图象一定经过点C（2，-2）

点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵

∴

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．

10、C

【解析】

【分析】

分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；

【详解】

当a＞0时，∵对称轴为x=，

当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，

∴4a+2-2=4．

∴a=1，

当a＜0时，同理可得

y有最大值为2； y有最小值为4a+2，

∴2-(4a+2)=4，

∴a=-1，

综上，a的值为

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．

二、填空题

1、y=x2-4x+3

【解析】

【分析】

过点C作CH⊥AB于点H，然后利用垂径定理求出CH、AH和BH的长度，进而得到点A和点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数解析式求得b与c，最后求得二次函数的解析式．

【详解】

解：过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH，

∵C（2，），

∴CH=，

∵半径为2，

∴AH=BH=＝1，

∵A（1，0），B（3，0），

∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，

故答案为：y=x2-4x+3．

【点睛】

本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．

2、

【解析】

【分析】

连接PB，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．

【详解】

令，则x＝±4，

故点B（4，0），

∴OB=4

设圆的半径为r，则r＝2，

连接PB，如图，

∵点Q、O分别为AP、AB的中点，

∴OQ是△ABP的中位线，

当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，

∵C（0，3）

∴OC=3

在Rt△OBC中，由勾股定理得：

则，

故答案为3.5．

【点睛】

本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．

3、1

【解析】

【分析】

把点代入得，再代入进行配方求解即可．

【详解】

解：∵点在抛物线上，

∴

∴

∵

∴的最小值是1，

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，能用含a的代数式表示出2a+b是解答本题的关键．

4、

【解析】

【分析】

根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．

【详解】

当时，

∴抛物线与y轴的交点坐标为

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

5、##

【解析】

【分析】

将已知式子化成，分和两种情况，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的不等式，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，从而可得的最大值与最小值，由此即可得出答案．

【详解】

解：由得：，

①当时，；

②当时，则关于的方程根的判别式大于或等于0，

即，

整理得：，

解方程得：，

则对于二次函数，当时，的取值范围为，且，

综上，的取值范围为，

所以的最大值为3，最小值为，

所以的最大值与最小值之和为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识，将求最值问题转化为一元二次方程问题是解题关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)

(3)（1，4）或（2，3）

【解析】

【分析】

（1）根据题意待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）根据二次函数解析式求得点得到坐标，进而求得直线的解析式，设P点坐标为，则Q点坐标为，进而表示出的长，根据二次函数的性质求得最大值即可；

（3）过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，根据∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，求得,根据平行线分线段成比例求得，进而求得的长，即可求得的坐标，根据一次函数的平移可得直线EG解析式为：y= -x+5，联立直线与抛物线解析式，即可求得点的坐标

(1)

抛物线经过点，

解得

抛物线的解析式为：

(2)

抛物线的解析式为：

令，则

设直线的解析式为

则

解得

直线BC的解析式为：

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为，

则Q点坐标为，

则

∴PQ的最大值是．

(3)

∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，

OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2

过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，

根据平行线分线段成比例，

OF：FD=OC：CE=3：2

∵OC=3，

∴OE=5，

∴E（0，5）

∴直线EG解析式为：y= -x+5

联立方程，得：

解得：，

则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；

【点睛】

本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．

2、 (1)

(2)

(3)或

3、 (1)

(2)（-2，2）或（0，4）

(3)存在，点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，将A(−4，0)、B(2，6)代入，计算即可；

（2）先确定点A点C坐标，再运用待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，m+4），然后根据OD将△AOB的面积分成1：2的两部分计算即可；

（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．

(1)

解：将A(−4，0)、B(2，6)代入可得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

(2)

解：∵ A点坐标为（-4，0），OA＝OC

∴C点坐标为（0,4）

设直线AB的解析式为：，则

，解得：，

∴直线AB的解析式为：，

设点D的坐标为（m，m+4），

∵OD将△AOB的面积分成1：2的两部，即或，

∴或，解得：或m=0

∴点D的坐标为（-2，2）或（0，4）；

(3)

解：存在；

设点P的坐标为（xp，yp），

①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，

轴，，

∵B（2，6），

∴点P的坐标为（-2，6）；

②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，

点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，

点P的坐标为（6，6）；

③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，

，，

∴，，

即，，

解得：，，

此时点P的坐标为（-6，-6）；

综上，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．

【点睛】

本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形等知识点，正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．

4、 (1)；

(2)（）；

(3)点P（2，-6），PD最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；

（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．

(1)

解：∵点的坐标为，

∴OB=1，

∵，

∴OA=OC=4，

∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),

将点A、B、C的坐标代入中，得

，解得，

∴抛物线的解析式为；

(2)

解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，

设直线AC的解析式为，

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=x-4，

当时，，

∴点M的坐标为（）；

(3)

解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠PHD=∠OCA=45°，

设点P（x，），则点H（x，x-4），

∴，

∵，

∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，

此时点P（2，-6）．

．

【点睛】

此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．

5、 (1)

(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；

（2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案.

(1)

解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：

把代入抛物线的解析式得：

解得：

所以抛物线为：

(2)

解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，

所以当时，

而

所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.

【点睛】

本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键.