数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品练习

九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

2、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）

A． B． C． D．

4、如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（       ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

6、下列函数中，随的增大而减小的是（       ）

A． B．

C． D．

7、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（     　）

A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3

8、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

9、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）

A．该函数图象与轴的交点坐标是

B．当时，的值随值的增大而减小

C．当取1和3时，所得到的的值相同

D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象

10、已知二次函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，则下列命题中正确的是（       ）

A．若a＝1，函数图象经过点(－1，1) B．若a＝－2，函数图象与x轴交于两点

C．若a＜0，函数图象的顶点在x轴下方 D．若a＞0且x≥1，则y随x增大而减小

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、当k－2≤x≤k时，函数y＝x2－4x＋4（k为常数）的最小值为4，则k的值是____．

2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是______．

3、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______．

4、已知抛物线，将此二次函数解析式用配方法化成的形式得__________，此抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_____________．

5、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0）．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)将x轴上的点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求n的值．

2、如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．

(1)求y与x的函数关系式；

(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；

3、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．

(1)求这条抛物线的解析式．

(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

4、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；

(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．

5、如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点．

(1)求 b 的值；

(2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．

【详解】

解：∵，

∴对称轴为直线x＝b，开口向下，

在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1不在对称轴左侧，

∴b≤1，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．

【详解】

解：二次函数与轴的一个交点为，

时，，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．

4、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．

【详解】

解：∵抛物线的对称轴为x=-1，

所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），

∴AB=1-（-3）=4，故①正确；

由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；

由图象可知：抛物线开口向上，

∴a>0，

由对称轴可知：−<0，

∴b>0，故③正确；

当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；

所以，正确的结论有4个，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

5、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

6、C

【解析】

【分析】

根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．

【详解】

解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；

B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；

C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；

D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．

7、A

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．

8、D

【解析】

【分析】

首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．

【详解】

解：抛物线开口向上，

，

对称轴在轴右侧，

与异号，

，

抛物线与轴交于正半轴，

，

故选：．

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，

①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．

当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．

②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．

当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）

③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．

9、C

【解析】

【分析】

把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．

【详解】

∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，

∴A选项错误；

∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，

∴当时，的值随值的增大而增大，

∴B选项错误；

∵当取和时，所得到的的值都是11，

∴C选项正确；

∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，

∴D选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．

【详解】

A、当a=1，x=-1时，，故函数图象经过点(－1，2)，不经过点(－1，1)，故命题错误；

B、a＝－2时，函数为，令y=0，即，由于，所以方程有两个不相等的实数根，从而函数图象与x轴有两个不同的交点，故命题正确；

C、当a<0时， ，其顶点坐标为，当a=−1时，顶点坐标为(1，0 )，在x轴上，故命题错误；

D、由于，抛物线的对称轴为直线x=1，当a＞0且x≥1时，y随x增大而增大，故命题错误．

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．

二、填空题

1、0或6##6或0

【解析】

【分析】

先求出函数的顶点坐标，再根据题意分情况讨论即可求解．

【详解】

∵y=x2-4x+4=（x-2）2

∴顶点坐标为（2,0）

∴当k≤2时，x=k时，函数y=x2-4x+4的最小值为4

故k2-4k+4=4

解得k=0或k=4(舍去)

当k-2≥2时，x= k-2时，函数y=x2-4x+4的最小值为4

故（k-2）2-4（k-2）+4=4

解得k=6或k=2(舍去)

故答案为6或0．

【点睛】

此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．

2、

【解析】

【分析】

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 则是的两根，且 再利用两个交点之间的距离为4列方程，再解方程可得答案.

【详解】

解：设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为

是的两根，且

两个交点之间的距离为4，

解得： 经检验：是原方程的根且符合题意，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，两个交点之间的距离，掌握“求解二次函数与轴的交点坐标”是解本题的关键.

3、x=-5或x=0##或

【解析】

【分析】

根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可．

【详解】

解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），

∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，

则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，

x+1=-4或x+1=1，

解得：x=-5或x=0，

即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，

故答案为：x=-5或x=0．

【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．

4、         

【解析】

【分析】

（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将与分别代入二次函数解析式中，计算出与的值，并比较大小．

【详解】

（1）解：，

故答案为：．

（2）当 时，

当时，

∴ 与的大小关系是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．

5、

【解析】

【分析】

根据，顶点坐标是，可得答案．

【详解】

解：抛物线为，

开口向下，则最高点坐标是顶点坐标，

顶点坐标．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式．

三、解答题

1、 (1)

(2)1

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，即可求解；

（2）设点 ，可得点 ，从而得到点P1，P2关于对称轴 对称，可得 ，再由点P1在该二次函数图象上，可得，即可求解．

(1)

解：∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（2，4），B（4，0），

∴ ，解得： ，

∴这个二次函数的表达式为 ；

(2)

解：设点 ，

∵点P先向上平移3n（n＞0）个单位得点P1，再向左平移2n个单位得点P2，

∴点 ，

∵点P1，P2均在该二次函数图象上，

∴点 关于对称轴 对称，

∴ ，

∴ ，即 ，

∵点P1在该二次函数图象上，

∴ ，

∴，

解得： 或，

∵n＞0，

∴．

【点睛】

本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

2、 (1)y＝﹣2x2＋18x

(2)m2

【解析】

【分析】

（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据矩形的面积公式求解即可；

（2）根据顶点坐标公式计算即可求解

(1)

设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，

根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x；

(2)

二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），

∵a＝﹣2＜0，

∴二次函数图象开口向下，

且当x＝﹣＝时，y取得最大值，

最大值为y＝×（18﹣2×）＝（m2）；

【点睛】

本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出是解题的关键．

3、 (1)

(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；

（2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案.

(1)

解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：

把代入抛物线的解析式得：

解得：

所以抛物线为：

(2)

解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，

所以当时，

而

所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.

【点睛】

本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键.

4、 (1)，

(2)或

(3)

【解析】

【分析】

（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；

（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；

（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．

(1)

解：对于，当时，，

，

抛物线为常数，交轴于点和点，

，

解得，

抛物线的解析式为；

(2)

解：，，

，

连接，设的中点为，

，，

直线的解析式为，

，

点在直线上，

设，

点是抛物线上一点，

，

解得，

点的坐标为，或，；

(3)

解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，

点与点关于对称，点在直线上，

，，

当，，三点共线时，最小，即最小，

设直线的解析式为，

，

解得，

直线的解析式为，

把代入得，，

，

当最小时，求点的坐标．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．

5、 (1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得；

（2）由图像即可得．

(1)

解：将点A（4，4）代入得，

解得．

(2)

解：由图像可知，当或时，．

【点睛】

本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．