2021学年第30章 二次函数综合与测试优秀同步练习题

九年级数学下册第三十章二次函数难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、根据表格对应值：

判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（       ）

A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定

2、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

3、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

4、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）

A． B． C． D．

5、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）

A． B． C． D．

6、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）

A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4

7、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（       ）

A． B．

C． D．

8、抛物线y＝x2+4x+5的顶点坐标是（　　）

A．（2，5） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，1）

9、抛物线y=ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示:

给出下列说法：

①抛物线与y轴的交点为(0，6)；

②抛物线的对称轴在y轴的右侧；

③抛物线的开口向下；

④抛物线与x轴有且只有1个公共点．

以上说法正确是（       ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

10、如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，不正确的结论是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为_____．

3、将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 _____．

4、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．

5、抛物线的顶点坐标是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

(1)求该二次函数的表达式；

(2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______．

2、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．

(1)求c的值；

(2)计算铅球距离地面的最大高度．

3、如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．

(1)①写出A，B，C的坐标：A（       ），B（       ），C（       ）；

②求证：是直角三角形；

(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；

(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

4、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．

(1)求a的值．

(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．

5、问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．

(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．

(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．

(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．

(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．

【详解】

解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，

当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，

∵0.84＜2＜2.29，

∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，

故选：B

【点睛】

本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．

2、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

3、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

4、D

【解析】

【分析】

把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．

【详解】

解：二次函数与轴的一个交点为，

时，，

，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．

5、C

【解析】

【分析】

根据两根之和公式可以求出对称轴公式．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，

∴x1＋x2＝− ＝2．

∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．

6、A

【解析】

【分析】

直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．

【详解】

解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．

7、C

【解析】

【分析】

此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为 ，

∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，

∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，

∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．

故选：C

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．

8、D

【解析】

【分析】

利用顶点公式（﹣，），进行解题．

【详解】

解：∵抛物线y＝x2+4x+5

∴x＝﹣＝﹣＝﹣2，y=＝1

∴顶点为（﹣2，1）

故选：D．

【点睛】

此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的顶点公式为（﹣，）．

9、C

【解析】

【分析】

根据表中数据和抛物线的对称性，可得抛物线的对称轴是直线x=，可得到抛物线的开口向下，再根据抛物线的性质即可进行判断．

【详解】

解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），故①正确；

∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），

∴对称轴为x==>0，即抛物线的对称轴在y轴的右侧，故②正确；

当x<时，y随x的增大而增大，

∴抛物线开口向下，故③正确，

∵抛物线经过点（-2，0），

设抛物线经过点（x，0），

∴x==，

解得：x=3，

∴抛物线经过（3，0），即抛物线与x轴有2个交点（-2，0）和（3，0），

故④错误；

综上，正确的有①②③，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是注意表格数据的特点，结合二次函数性质作判断．

10、D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴求出与的关系．

【详解】

解：A、由抛物线的开口向上知，

对称轴位于轴的右侧，

．

抛物线与轴交于负半轴，

，

；

故选项正确，不符合题意；

B、对称轴为直线，得，即，故选项正确，不符合题意；

C、如图，当时，，，故选项正确，不符合题意；

D、当时，，

，即，故选项错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．

【详解】

=2时：

时：

∴

故答案为：<

【点睛】

本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．

2、5

【解析】

【分析】

先求出抛物线y= a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长．

【详解】

解：∵抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数），

∴对称轴为直线x=1，

∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A(-1，0)，

∴点B(3，0)，

∴OB=3，

∵C点和D点关于x=1对称，且点C(0，a+k)，

∴点D(2，a+k)，

∴CD=2，

∴线段OB与线段CD的长度和为5，

故答案为5．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与与坐标轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大．

3、y＝﹣2（x﹣1）2+3

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．

故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．

【点睛】

此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记规律是正确解题的关键．

4、x＝﹣1

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.

【详解】

解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.

5、 (2，-1)

【解析】

【分析】

先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．

【详解】

解：，

∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．

故答案为（2，-1）．

【点睛】

本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．

三、解答题

1、 (1)二次函数的表达式为： ；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；

（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式．

(1)

解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，

设二次函数的表达式为，

把代入得，

，

∴，

∴，

即 ；

(2)

解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同，

设二次函数的表达式为，

在y轴上且在函数图象上，

将其代入函数表达式为：，

解得：，

∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．

2、 (1)；

(2)铅球距离地面的最大高度为

【解析】

【分析】

（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；

（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．

(1)

把（10，0）代入函数解析式中得：

解得：

(2)

当x＝﹣时，y最大＝

所以铅球距离地面的最大高度为3m．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．

3、 (1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析

(2)

(3)存在，当时，最大，最大为.

【解析】

【分析】

（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；

（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；

（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可

(1)

①由，

令，则，

令，即

解得

，，

故答案为：-1，0；4，0；0，-2；

②证明：∵，，

∴，，

∴

∴是．

(2)

连接OQ，如图所示

设点Q的坐标为

(3)

过点Q作于点H，如图所示

∴

∵

∴

∴当时，最大，最大为．

【点睛】

本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．

4、 (1)3

(2)（2，0）和（0，0）

【解析】

【分析】

（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；

（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．

(1)

解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），

∴0＝a（2-1）2-3，

解得：a=3；

(2)

由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，

令y=0，则3（x-1）2-3=0，

解得：x=2或x=0，

∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．

【点睛】

本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．

5、 (1)

(2)见解析

(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；

(4)

【解析】

【分析】

（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；

（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；

（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；

（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．

(1)

解：令，

整理得：，

可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，

故答案为：；

(2)

解：先在坐标轴上描出点，

再连线即可，如下图：

(3)

解：如图：

当时，与有一个交点，

当时，与有两个交点，

当时，与有一个交点，

综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；

(4)

解：如下图：

当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；

当时，（其中，m为常数）与没有公共点；

要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足

且，

解得：且，

，

故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．