冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品习题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品习题，共32页。试卷主要包含了二次函数图像的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
3、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）
A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)
4、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5、二次函数图像的顶点坐标是（ ）
A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）
6、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
7、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
8、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
9、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
10、二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（　　）

A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知二次函数，当时，函数的值是_________．
2、已知点，在抛物线上，则，的大小关系是______（填“>”，“<”或“=”）．
3、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．
4、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．

5、将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．

(1)求c的值，并用含a的代数式表示b；
(2)当a＝时．
①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；
(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．
3、已知二次函数（a、b、c是常数，）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…

0
1
2
3
…
y
…
0



0
…
(1)求该二次函数的表达式；
(2)该二次函数图像关于y轴对称的图像所对应的函数表达式是______．
4、某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．

(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
①求出当4≤x≤8时的函数关系式；
②求出当8＜x≤28时的函数关系式．
(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；
(3)求出年利润的最大值．
5、习近平总书记曾强调“利用互联网拓宽销售渠道，多渠道解决农产品卖难问题.” 2021年黑龙江省粮食生产再获丰收，某村通过直播带货对产出的生态米进行销售．每袋成本为40元，物价部门规定每袋售价不得高于55元．市场调查发现，若每袋以45元的价格销售，平均每天销售105袋，而销售价每涨价1元，平均每天就可以少售出3袋．
(1)求该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式；
(2)若每日销售利润达到900元，售价为多少元？
(3)当每袋大米的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．
【详解】
解：，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
在时，随的增大而减小，
，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．
2、B
【解析】
【分析】
将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【详解】
解：∵将与联立得：，
解得：．
∴点B的坐标为（−2，1），
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，
∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，
如图1所示：当抛物线经过点C时，

将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；
如图2所示：当抛物线经过点B时，

将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．
综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．
3、A
【解析】
【分析】
根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】
解：抛物线的顶点坐标是
故选A
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，

∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．
6、B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；
B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），
故当时，，即，故B错误，符合题意；
C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；
D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
7、C
【解析】
【分析】
根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】
解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，

根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】
本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
9、B
【解析】
【分析】
分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】
解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
10、A
【解析】
【分析】
根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，
∴另一交点为
设抛物线解析式为，将点代入得

解得
抛物线解析式为
则顶点坐标为
当x＞0时，函数值y的取值范围是
故选A
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．
二、填空题
1、-1
【解析】
【分析】
将x的值代入计算即可；
【详解】
解：当时
==-1
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
首先求得抛物线的对称轴和开口方向，可知开口向上对称轴为，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断，的大小关系．
【详解】
解：∵中，，开口向上，对称轴为，
∴点与对称轴的距离越远函数值越大
点，在抛物线上，


故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
3、x＝﹣1
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.
【详解】
解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.
4、##
【解析】
【分析】
分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果．
【详解】
解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，
将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−，
故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12，
∵PC=12，=1：2，
∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，
即可得点A的坐标为(12，6)，
当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE，
∵E在A的正上方，
∴AE=CE-AC=-6=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
5、（0，-1）
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将二次函数y＝-x2+2图象向下平移3个单位，
得到y＝-x2+2-3=-x2-1，
顶点坐标为（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
三、解答题
1、 (1)c=6；b=2a+4
(2)①最小值为−，最大值为20；②D(−3，−)．
【解析】
【分析】
（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值．
（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．
(1)
把（0，6）代入y=ax2+bx+c，
得c=6．
把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6，
得4a-2b+6=-2，
∴b=2a+4．
(2)
①当a＝时，
∴，且c=6
∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上．
∴顶点坐标为，

∵-4≤x≤2，
∴当x＝−时，y的最小值为−．
观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值，
把x=2代入y＝x2+x+6，
y的最大值为20．
②∵y＝x2+x+6，
令y=0，则x=-6或x＝−，
∵点C在左侧，
∴C（-6，0）
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得
m=6-6k+m=0
解得k=1，m=6，
∴y=x+6
设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6）
∴FD＝x+6−(x2+x+6)＝−x2−x，
∵OA=OC=6，∠AOC=90°，
∴∠COA=90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM=∠CAO=45°，
DM＝FM＝FD，
设△FDM的周长为l，
则l＝DF+DM+MF＝
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵−＜0且-6＜x＜0，
∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x=-3代入y＝x2+x+6，
得y＝−，
∴D(−3，−)．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键．
2、 (1)
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；
（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；
（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．
(1)
解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，
令，得
即
令，即
解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
(2)
点P是直线上一动点，直线的解析式为
设点，
点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，
则在上
即
解得
或
或
(3)
依题意，设点，
设直线的解析式为，将点代入得，

解得
直线的解析式为
PEBC
设直线的解析式为
令，，则点的坐标为
，，
PEBC






是直角三角形


将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，
,

与点重合，
则
，

解得

或

即或
解得或
或

【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．
3、 (1)二次函数的表达式为： ；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的表达式为，再选一组值代入即可求出a值，解析式即可确定；
（2）先根据顶点坐标求出关于y轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为，结合表中数据可得函数图象经过，代入求解即可确定抛物线解析式．
(1)
解：观察表格数据，由、可知，二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数的表达式为，
把代入得，
-3=a(0-1)2-4，
∴，
∴，
即 ；
(2)
解：抛物线的顶点是，关于y轴的对称点，开口方向与原抛物线相同，
设二次函数的表达式为，
在y轴上且在函数图象上，
将其代入函数表达式为：，
解得：，
∴关于y轴对称的图象所对应的函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．
4、 (1)①y＝；②y＝－x+28
(2)w=160-640x(4≤x≤8)-(x-16)2+114(8 (3)年利润最大为114元
【解析】
【分析】
（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入计算即可；
②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，计算即可；
（2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；
（3）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出w的最大值，进而求解；
(1)
①当4≤x≤8时，设（k≠0）.
将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160，
∴y＝
②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）.
分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得
∴y＝－x +28
(2)
当4≤x≤8时，w＝
当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112
＝－(x－16)2+114
综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为

(3)
当4≤x≤8时，
∵－640＜0，
∴w随x增大而增大，
∴当x＝8时，w有最大值，为
当8＜x≤28时，
∵－1＜0
∴当x＝16时，w有最大值，为114
∵80＜114
∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
5、 (1)w=-3x2+360x-9600；
(2)若每日销售利润达到900元，售价为50元；
(3)当销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元．
【解析】
【分析】
（1）利用该电商平均每天的销售利润w（元）=每袋的销售利润×每天的销售量得出即可；
（2）根据（1）的关系式列出一元二次方程即可；
（3）根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可．
(1)
解：w=（x-40）[105-3（x-45）]
=（x-40）（-3x+240）
=-3x2+360x-9600，
答：该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式为w=-3x2+360x-9600；
(2)
解：由题意得，w=-3x2+360x-9600=900，
解得：x1=50，x2=70＞55（舍），
答：若每日销售利润达到900元，售价为50元；
(3)
解：w=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200，
∵a=-3＜0，
∴抛物线开口向下．
又∵对称轴为x=60，
∴当x＜60，w随x的增大而增大，
由于50≤x≤55，
∴当x=55时，w的最大值为1125元．
∴当销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-时取得．