初中数学第30章 二次函数综合与测试精品课堂检测

这是一份初中数学第30章 二次函数综合与测试精品课堂检测，共30页。试卷主要包含了二次函数y＝a+bx+c，抛物线的对称轴是，对于抛物线下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数综合测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（ ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0
2、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
3、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0
4、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
5、抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
7、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
8、对于抛物线下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点
9、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
10、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、二次函数的图像不经过第______象限．
2、将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为______．
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），直线经过点；当时，直线分别与轴，抛物线交于，两点；当时，直线分别与轴，抛物线交于，两点；……；当（为正整数）时，直线分别与轴，抛物线交于，两点，则线段长为______．（用含的代数式表示）

4、二次函数的对称轴是________．
5、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，△ADB与△BCD均为等边三角形，延长AD到E，使∠AEC＝90°，AD＝5，动点M从点B出发，沿BD方向运动，移动速度为1个单位/秒，同时，点N由点D向点C运动，移动速度为2个单位/秒，其中一个到终点，都停止运动，连接AM，CM，MN，NE，设运动时间为t（0≤t≤2.5）

(1)t为何值时，MN∥BC；
(2)连接BN，t为何值时，BNE三点共线；
(3)设四边形AMNE的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使N在∠CMD的角平分线上，若存在,求出t近似值；若不存在，说明理由．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；
(2)若 ，求点P的坐标；
(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）．

(1)抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ；
(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
(3)若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．
4、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．

(1)求c的值；
(2)计算铅球距离地面的最大高度．
5、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
(1)求a的值．
(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．
【详解】
解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，
，，
，结论A错误，不符合题意；
B、抛物线顶点坐标为，，
，
，即，结论B错误，不符合题意；
C、抛物线顶点坐标为，，
，
，结论C错误，不符合题意；
D、，，
，结论D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．
2、B
【解析】
【分析】
分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】
解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
3、D
【解析】
【分析】
由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．
4、B
【解析】
【分析】
看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．
【详解】
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴﹣4ac＞0；
故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，
∴a＜0，b＞0， c＞0，
∴abc＜0；
故②正确；
∵，
∴4a+b＝0，
故③正确；
x= -2时，y=4a-2b+c，
根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；
故④错误.
故选B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．
【详解】
解：，
其中：，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．
6、C
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．
【详解】
解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；
B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；
C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；
D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、D
【解析】
【分析】
首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．
【详解】
解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
与异号，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，
①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．
②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．
当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）
③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
8、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确；
由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；
由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；
在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
9、D
【解析】
【分析】
把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．
【详解】
解：二次函数与轴的一个交点为，
时，，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．
10、A
【解析】
【分析】
分别求出、、的大小，再进行判断即可．
【详解】
解：




A、故选项正确，符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项错误，不符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．
二、填空题
1、二
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限．
【详解】
解：∵y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，3）且经过点（0，-1），函数图象开口向下，
∴该函数图象不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2、y＝（x﹣2）2﹣2．
【解析】
【分析】
根据函数图象向右平移自变量减，向下平移常数项减，可得答案．
【详解】
解；将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减自变量，上加下减常数项．
3、
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式结合题意可求出A点坐标，又点A在直线上，即可求出，即得出直线解析式．当时，直线解析式即为，即可求出此时的坐标．联立抛物线解析式和直线解析式，即可求出的坐标，再代入抛物线解析式，可求出其纵坐标．最后利用两点的距离公式就出结果即可．
【详解】
∵与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
令，则，
解得：，．
∴A点坐标为(-1，0)．
∵直线经过点A，
∴，
解得：，
∴该直线解析式为．
当时，直线解析式为，
令，则，
∴的坐标为(0，n)．
联立，即，
解得：，．
∴的横坐标为n+1．
将代入中，得：，
∴的坐标为()．
∴



故答案为：．
【点睛】
本题为二次函数与一次函数综合题，较难．考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与一次函数图象的交点以及两点的距离公式．正确求出和的坐标是解答本题的关键．
4、直线
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴为直线 根据抛物线的顶点式可直接得到答案.
【详解】
解：二次函数的对称轴是直线（或轴）
故答案为：直线
【点睛】
本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键.
5、（1，3）
【解析】
【分析】
根据顶点式判断顶点即可．
【详解】
解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3
∴顶点坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点睛】
本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．
三、解答题
1、 (1)当秒；MN∥BC；
(2)t=时，B、N、E三点共线；
(3)S=（0≤t≤2.5）；
(4)存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【解析】
【分析】
（1）根据MN∥BC；证明△MDN为等边三角形，得出DM=DN，即5-t=2t，解方程即可；
（2）根据∠ADE为平角，求出∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，得出DE=，CE=，根据B、N、E三点共线；得出对顶角性质∠BNC=∠END，再证△BCN∽△EDN，得出即，求出DN即可；
（3）过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，先证BD为∠ADC的平分线，得出MG=MH，再证△MGD∽△BFD，，，求出，分别求出S△AMD=，S△MDN=S△DEN=，再根据S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）即可；
（4）过点M作MK⊥BC于K，根据等边三角形性质可得∠KBM=60°，可求∠KMB=90°-60°=30°，利用30°直角三角形性质得出BK=，利用勾股定理得出MK=MC，根据角平分线定理使N在∠CMD的角平分线上，得出即，整理得：，化为两函数的交点，用描点法画函数图像，列表连线得出量函数图像Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，t≈1.148时，两函数值相等即可．
(1)
解：∵△ADB与△BCD均为等边三角形，AD=5，
∴BD=DC=AD=5，
∴BM=t，DN=2t，
∵MN∥BC；
∴∠NMD=∠DBC=60°=∠MDN，
∴△MDN为等边三角形，
∴DM=DN，即5-t=2t，
解得秒；
∴当秒；MN∥BC；
(2)
解：∵∠ADE为平角，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∵∠CEA=90°，
∴∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，
∴DE=，CE=，
∵B、N、E三点共线；
∴∠BNC=∠END，
∵∠BCD=∠CDE=60°，
∴BC∥DE，
∴△BCN∽△EDN，
∴即，
解得DN=，
∴2t=，
解得t=，
∴t=时，B、N、E三点共线；

(3)
解：过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，
∵∠BDA=∠BDC=60°，
∴BD为∠ADC的平分线，
∵MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，
∴MG=MH，
∵BF⊥AE，MG⊥AE，
∴BF∥MG，
∴△MGD∽△BFD，
∴，
∵△ABD为等边三角形，BF⊥AD，
∴AF=DF=2.5，
∴BF=，
∵MB=t，
∴MD=5-t，
∴，
解得：，
∴MH=，
∴S△AMD=，
S△MDN=，
∵NI⊥DE，∠CED=90°，
∴NI∥CE，
∴△DNI∽△DCE，
∴即，
∴解得NI=，
∴S△DEN=，
∴S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）；

(4)
过点M作MK⊥BC于K，，过点C作CS∥MN，交DB延长线于S，

∵∠KBM=60°，
∴∠KMB=90°-60°=30°，
∴BK=，MK=，
∴MC，
∵使N在∠CMD的角平分线上，
∴∠CMN=∠DMN，
∵MN∥CS，
∴∠S=∠DMN，∠SCM=∠CMN，
∴∠S=∠SCM，
∴MS=MC，
∵MN∥CS，
∴
∴即，
整理得：，
两函数的交点，
用描点法画函数图像，
列表
t
0

1
1.145
Y=8t3
0
4
8
12．009
t
1
1.15
1.24

Y=5(3t-5)2
20
12.0125
8.19
0

Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，
∴t≈1.148时，两函数值相等，

∴是存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【点睛】
本题考查等边三角形性质，平行线判定，三点共线，对顶角，三角形相似，三角形面积函数，勾股定理，角平分线定理，列表法函数式图形，利用图像求方程的解是解题关键．
2、 (1)；
(2)P(，﹣2)；
(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．
【解析】
【分析】
（1）由题意及抛物线解析式可得：，而OA=2OC=8OB，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；
（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；
（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与∆PHC底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．
(1)
解：抛物线，则，
∴，
∵OA=2OC=8OB，
∴，，
∴点A、B、C的坐标分别为、、，
∴，
将代入可得-2=a0+40-12，
解得：，
∴y=x+4x-12=x2+72x-2，
故抛物线的表达式为：；
(2)
解：，
其中：，，，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴点P、C的纵坐标相同，
∴根据函数的对称性得点；
(3)
解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，
将点、代入可得：
0=-4k+b-2=b，
解得：，
直线AC的解析式为：，
∴，
∴，
，
=12×4×(-12x-2-x2-72x+2)，
，
∵，
∴当时，，此时面积最大，
当时，
，
∴，
答：的面积最大为8，此时点．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．
3、 (1)1，（0，4）
(2)顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式；
（2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式；
（3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题．
(1)
解：，
当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：1，（0，4）．
(2)
解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4，
解得：a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4．
(3)
解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1），
B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2），
若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：．
【点睛】
本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
4、 (1)；
(2)铅球距离地面的最大高度为
【解析】
【分析】
（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；
（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．
(1)
把（10，0）代入函数解析式中得：

解得：
(2)
当x＝﹣时，y最大＝
所以铅球距离地面的最大高度为3m．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．
5、 (1)3
(2)（2，0）和（0，0）
【解析】
【分析】
（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；
（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．
(1)
解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），
∴0＝a（2-1）2-3，
解得：a=3；
(2)
由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，
令y=0，则3（x-1）2-3=0，
解得：x=2或x=0，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．