初中冀教版第30章 二次函数综合与测试优秀同步达标检测题

这是一份初中冀教版第30章 二次函数综合与测试优秀同步达标检测题，共29页。试卷主要包含了抛物线，，的图象开口最大的是，对于二次函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册第三十章二次函数难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米
2、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积，棱长xm
B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm
4、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．
6、抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7、对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点
8、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）
A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2
C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2
9、已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、在平面直角坐标系中，设点P是抛物线的顶点，则点P到直线的距离的最大值为________．
2、如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．

3、中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m．

4、用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：

……


0
1
2
……

……
6.5




……
当时，二次函数的函数值______
5、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是位于x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴，垂足为点E．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是否存在点P，使得以A、P、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，说明理由；
(3)是否存在点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．
2、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：

…
-3
-2
-1
0
1
…

…
8
5
4
5

…
根据以上列表，回答下列问题：
(1)直接写出、的值；
(2)求此二次函数的解析式．
3、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．

(1)求AB的长；
(2)①当时，抛物线L的函数表达式为 ；
②当时．求抛物线L的函数表达式 ；
(3)如图2，抛物线E：经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，
①求与n的关系式；
②当时，设四边形PAMC的面积，当时，设四边形PAMC的面积（k，t为正整数，，），若，请直接写出值．
4、已知函数（为常数）．
(1)若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由；
(2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；
(3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
5、己知二次函数．
(1)若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；
(2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
2、D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】
解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，
对称轴x=-＜0，得b<0．
∴
所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
3、D
【解析】
【分析】
根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．
【详解】
A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】
解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，
其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），
所以可设交点式y=（x-m）（x-n），
分别代入，，
∴


∵0＜m＜n＜3，
∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，
∵m＜n，
∴ab不能取16 ，
∴0＜ab＜16 ，
故选D
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.
5、D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象性质解题．
【详解】
解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；
B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；
C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，
D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6、A
【解析】
【分析】
先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．
【详解】
解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），
∵||＜|1|＜|-3|，
∴抛物线开口最大．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．
7、A
【解析】
【分析】
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8、A
【解析】
【分析】
由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∵x1＜x2，
∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．
【详解】
解：，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
在时，随的增大而减小，
，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．
10、C
【解析】
【分析】
根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【详解】
解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．
所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
二、填空题
1、5
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式求出点P坐标，由直线解析式可知直线恒过点B（0，-3），当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，根据两点间距离公式可出最大距离．
【详解】
解：∵
∴P（3，1）
又直线恒过点B（0，-3），如图，

∴当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，
此时，
∴点P到直线的距离的最大值为5
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，以及点到直线间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
2、
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
解：作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，

∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM＋∠NPQ′＝∠PQ′N＋∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，m＋3），
∴PM＝|m＋2|，QM＝|m|，
∴ON＝|1-m|，
∴Q′（m＋2，1−m），
∴OQ′2＝（m＋2）2＋（1−m）2＝m2＋5，
当m＝0时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
3、
【解析】
【分析】
如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．
【详解】
解：建立平面直角坐标系如图：

根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5，
设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为：，
把代入得，；
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解．
4、-4
【解析】
【分析】
由表格得出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性解答可得．
【详解】
解：由表格可知当x=0和x=2时，y=-2.5，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴x=3和x=-1时的函数值相等，为-4，
故答案为：-4．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据表格得出抛物线的对称轴是解题的关键．
5、
【解析】
【分析】
函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．
【详解】
解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴自变量x的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．
三、解答题
1、 (1)y=-x2-2x+3
(2)P1（-2，3）或P2(，)
(3)点P的坐标为（-，），理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c求出b、c的值即可求出该函数表达式；
（2）设P（m，-m2-2m+3），表示出PE、AE的长，分或两种情况讨论即可找到P的坐标；
（3）连接AC交PE于点H，把四边形分成两部分，表示出S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC即可根据二次函数最值找到P的坐标．
(1)
把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；
(2)
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴OC=3，OB=1，
∴设P（m，-m2-2m+3），
∴PE=-m2-2m+3，AE=m+3，
根据题意得：，
解得：m1=-2，m2=-3（舍去），
∴-m2-2m+3=
∴P1（-2，3），
或，
解得：m1＝，m2＝−3（舍去），
∴
∴P2(，)，
综上，点P坐标为P1（-2，3）或P2(，)．
(3)
连接AC交PE于点H，

由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的表达式为：y=x+3，
设P（m，-m2-2m+3），则H（m，m+3），
∴PH=-m2-3m
∴S△PAC＝⋅(−m2−3m)×3
∴S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC=
当m＝−时，S最大＝，此时点P的坐标为（-，）．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．
2、 (1)c=5，m=8
(2)y=x²+2x+5
【解析】
【分析】
(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；
(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．
(1)
解：根据图表可知：
二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，
∴二次函数的对称轴为：直线，
∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，
∴(-3，8)的对称点为(1，8)，
∴m=8，
当x=0时，由表格中数据可知：c=5．
(2)
解：∵对称轴是直线x=-1，
∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，
设y=a(x+1)2+4，
将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，
解得a=1，
∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．
3、 (1)
(2)①；②
(3)①；②或
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线组成方程组解方程组得出点A、B的坐标分别为、，根据两点距离公式；
（2）①当时，，则点C的坐标为，求抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B坐标代入得出，解方程即可；②当时，，则点C的坐标为，求出抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入得出，解方程即可；
（3）①根据，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，可求点P的横坐标也为，待定系数法求直线OB的表达式为，根据点P在直线OB上，求出点P的坐标为；根据顶点式写出抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得，求解即可；②，当时，，当时，，根据，得出，根据k，t为正整数，，，得出，或，满足上述条件，求出或10即可．
(1)
解：联立直线与抛物线组成方程组，
消去y得：，
解得，
故点A、B的坐标分别为、，
∴；
(2)
解：①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故答案为：；
②当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故抛物线的表达式为：；
(3)
①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故点P的横坐标也为，
设OB的解析式为y=sx，
点B代入得1=，
解得，
直线OB的表达式为，
∵点P在直线OB 上，
当时，，故点P的坐标为；
则抛物线E的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：；
②，
，
，
，
当时，，
当时，，
∵，即，即，
∵k，t为正整数，，，
∴，或，满足上述条件，
即或10，
由①知，，
∴或．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，是解题关键
4、 (1)经过，理由见解析
(2)n＝﹣m2﹣6m．
(3)4或6
【解析】
【分析】
（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；
（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．
（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．
(1)
解：经过，
把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：
4﹣2b+3b＝4，
解得b＝0，
∴此函数表达式为：y＝x2，
当x＝2时，y＝4，
∴图象经过点（2，4）；
(2)
解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），
∴﹣＝m，＝n，
∴b＝﹣2m，
把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．
即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．
(3)
把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，
∵抛物线不经过第三象限，
∴3b≥0，即b≥0，
∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，
∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），
∵﹣≤0，
∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，
解得b≤12，
∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．
当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，
解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝4或6．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
5、 (1)y= x 2−2x−3
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；
（2）根据二次函数的性质可得问题的答案.
(1)
解：由题意，得：a=1，b=−k，c= k−5；
∴对称轴x=，
解得：k=2，
∴二次函数解析式y= x 2−2x−3；
(2)
解：二次函数，a=1>0，
∴其图象开口向上，
∵时，y随x 的增大而减小，
∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：.
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．