冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品同步训练题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品同步训练题，共32页。试卷主要包含了对于抛物线下列说法正确的是，下列函数中，二次函数是，二次函数图像的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数章节练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米
3、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．或3
4、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
5、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
6、对于抛物线下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点
7、下列函数中，二次函数是（ ）
A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3）
C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝
8、二次函数图像的顶点坐标是（ ）
A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）
9、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10、二次函数的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、二次函数 y  2x21 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）
2、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．
3、已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1_____y2（填“＞”、“＝”或“＜”），
4、将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为______．
5、抛物线与y轴的交点坐标为_________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2、某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？
(1)分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；

调价后的每件利润
调价后的销售量
甲种礼品

①
乙种礼品
③
②
(2)解答：
3、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）与y交于点P，将抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）上点P及点P左边的部分图象沿y轴平移，使点P平移后的对应点Q落在(0，﹣m)处，将平移后的图象与原图象剩余部分合称为图象G
(1)当m＝1时，
①求图象G与x轴正半轴的交点坐标；
②图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为 ；
(2)当图象G的最低点到x轴的距离为时，求m的值．
(3)当过点Q且与y轴垂直的直线与图象G有三个交点时，设另外两个交点为A、B．当Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1时，直接写出线段AB的长度．
4、已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当为直角三角形时，求的面积
(2)如图，当时，过点P作轴于点Q，求BQ的长．
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．
5、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．

(1)求AB的长；
(2)①当时，抛物线L的函数表达式为 ；
②当时．求抛物线L的函数表达式 ；
(3)如图2，抛物线E：经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，
①求与n的关系式；
②当时，设四边形PAMC的面积，当时，设四边形PAMC的面积（k，t为正整数，，），若，请直接写出值．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
【详解】
解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
3、C
【解析】
【分析】
把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：，
向左平移个单位后的函数解析式为，
函数图象经过坐标原点，
，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4、C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x1＋x2＝− ＝2．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
5、B
【解析】
【分析】
分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】
解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确；
由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；
由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；
在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
8、C
【解析】
【分析】
直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．
9、A
【解析】
【分析】
分别求出、、的大小，再进行判断即可．
【详解】
解：




A、故选项正确，符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项错误，不符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．
10、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．
【详解】
解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．
二、填空题
1、向上
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．
【详解】
∵a=2>0，
∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，
故答案为：向上．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．
2、x＝﹣1
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.
【详解】
解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.
3、＜
【解析】
【分析】
找到二次函数对称轴，根据二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的开口向下，对称轴为x＝1，
∴在x＜1时，y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查二次函数的增减性，掌握其增减规律，找到对称轴是解本题关键．
4、y＝（x﹣2）2﹣2．
【解析】
【分析】
根据函数图象向右平移自变量减，向下平移常数项减，可得答案．
【详解】
解；将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2﹣2，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减自变量，上加下减常数项．
5、
【解析】
【分析】
根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．
【详解】
当时，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
三、解答题
1、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为
【解析】
【分析】
（1）利用公式法，即可求解；
（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】
解：（1）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．
2、 (1)①，②，③
(2)每天获得的最大利润为元.
【解析】
【分析】
（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；
（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.
(1)
解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，
乙种礼品调价后的销售量为：件，
乙种礼品调价后的利润为：元，
填表如下：

调价后的每件利润
调价后的销售量
甲种礼品


乙种礼品



(2)
解：设每天的销售利润为元，则



当时，
（元）
所以每天获得的最大利润为元.
【点睛】
本题考查的是列代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.
3、 (1)①（，0），（，0）；②或
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）①令y=0，得一元二次方程，求出方程的解即可解决问题；②将抛物线解析式配方找出对称轴，结合函数图象解答问题即可；
（2）分两种情况结合图象G的最低点到x轴的距离为列出方程求解即可；
（3）分两种情况求出点A，B的坐标，根据Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1列方程求出mr wfhg,gmf fiy AB的长即可
(1)
①当m=1时，y＝x2﹣4mx+m=x2﹣4x+1
令y=0，则x2﹣4x+1=0
解得，，
∴图象G与x轴正半轴的交点坐标（，0），（，0）
②y=x2﹣4x+1=
∴函数y=x2﹣4x+1对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-3），且开口向上
如图，

∴图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为或
故答案为：或
(2)
当时，
∵y＝x2﹣4mx+m
又∵
∴①当0＜m＜时，＞0，即点Q是图象G的最低点，
∴，不符合题意舍去，
②当m≥时，≤0，即抛物线的顶点是图象G的最低点，
∴-(-4m2+m)=12
解得，，（舍去）
当时，同理可得，
综上，m的值为或
(3)
当时，如图所示，

当时，则有
配方得，
解得，
∴
∴
∵
∴
∴
整理得，
解得，
经检验，是原方程的根，
但m≠0
∴
∴AB=24×81256-2×916=2×8164-7264=34；
当时，如图，

当时，则有
配方得，
解得，
∴
平移后的图象解析式为
当时，则有
解得，x1=4m,x2=0
∴
∴
∵，即
∴
解得，
经检验是原方程的根，
但m≠0
∴
∴


综上所述，AB的长为：或
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定交点坐标．
4、 (1)4
(2)2
(3)或m=
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
(1)
解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．
(2)
解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．
(3)
解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①a.若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；

b. 若△ABP∽△BAC
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；

②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；
b. 若△ABP∽△BAC,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= =2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；

③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；

b. 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；

综上，m的值为m=或m=．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
5、 (1)
(2)①；②
(3)①；②或
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线组成方程组解方程组得出点A、B的坐标分别为、，根据两点距离公式；
（2）①当时，，则点C的坐标为，求抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B坐标代入得出，解方程即可；②当时，，则点C的坐标为，求出抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入得出，解方程即可；
（3）①根据，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，可求点P的横坐标也为，待定系数法求直线OB的表达式为，根据点P在直线OB上，求出点P的坐标为；根据顶点式写出抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得，求解即可；②，当时，，当时，，根据，得出，根据k，t为正整数，，，得出，或，满足上述条件，求出或10即可．
(1)
解：联立直线与抛物线组成方程组，
消去y得：，
解得，
故点A、B的坐标分别为、，
∴；
(2)
解：①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故答案为：；
②当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故抛物线的表达式为：；
(3)
①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故点P的横坐标也为，
设OB的解析式为y=sx，
点B代入得1=，
解得，
直线OB的表达式为，
∵点P在直线OB 上，
当时，，故点P的坐标为；
则抛物线E的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：；
②，
，
，
，
当时，，
当时，，
∵，即，即，
∵k，t为正整数，，，
∴，或，满足上述条件，
即或10，
由①知，，
∴或．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，是解题关键