冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀当堂达标检测题

九年级数学下册第三十章二次函数定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（       ）

A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6

2、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（       ）

A．①② B．③④ C．①③ D．①②④

3、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）

A． B． C． D．

4、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是（       ）

A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝3

5、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

6、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7、抛物线y=ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示:

给出下列说法：

①抛物线与y轴的交点为(0，6)；

②抛物线的对称轴在y轴的右侧；

③抛物线的开口向下；

④抛物线与x轴有且只有1个公共点．

以上说法正确是（       ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

8、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．或

9、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

10、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（       ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是______．

2、最大值与最小值之和为_________．

3、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．

4、二次函数的图象的顶点坐标为______．

5、二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部分规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出件

(1)请写出与之间的函数表达式

(2)设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？

2、已知，如图，直线分别与轴、轴交于点、，抛物线经过点和点，其对称轴与直线交于点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若抛物线（其中）与抛物线的对称轴交于点．与直线交于点，过点作轴交抛物线的对称轴左侧部分于点．

①若点和点重合，求的值；

②若点在点的下方，求、的长（用含有的代数式表示）；

③在②的条件下，设的长度为个单位，的长度为个单位，若．直接写出的范围．

3、如图，二次函数（m是实数，且）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，．连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．

(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；

(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求m的值．

4、已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：

(1)抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)△ABC的面积．

5、已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．

(1)求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；

(2)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；

(3)若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），

∴，

解得：，

∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，

∴函数的最小值为=，即y≥-3，

故选C．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．

2、A

【解析】

【分析】

根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．

【详解】

解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，

∴二次函数式为：

∵

∴二次函数的图像开口向下，故①正确；

∵

∴对称轴为直线

∴当时，随的增大而减小，故②正确；

当时，二次函数的最大值是，故③错误；

若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误

∴正确的是①②

故答案为①②

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3、B

【解析】

【分析】

直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．

【详解】

∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，

∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，

∴-78=452a，

解得：a=，

∴此抛物线钢拱的函数表达式为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．

4、C

【解析】

【分析】

一元二次方程的两个根分别是和5，则二次函数图象与轴的交点坐标为、，根据函数的对称性即可求解．

【详解】

解：一元二次方程的两个根分别是和5，

则二次函数图象与轴的交点坐标为、，

根据函数的对称性，函数的对称轴为直线，

故选：C．

【点睛】

本题考查抛物线与轴的交点与对称轴的关系，解题的关键是掌握若抛物线与轴交点的横坐标为和，则抛物线的对称轴为．

5、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

6、A

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向

【详解】

解：∵的对称轴为，且

∴若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故A正确

若，

则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故C不正确

对于B,D选项不能判断的符号

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据表中数据和抛物线的对称性，可得抛物线的对称轴是直线x=，可得到抛物线的开口向下，再根据抛物线的性质即可进行判断．

【详解】

解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），故①正确；

∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），

∴对称轴为x==>0，即抛物线的对称轴在y轴的右侧，故②正确；

当x<时，y随x的增大而增大，

∴抛物线开口向下，故③正确，

∵抛物线经过点（-2，0），

设抛物线经过点（x，0），

∴x==，

解得：x=3，

∴抛物线经过（3，0），即抛物线与x轴有2个交点（-2，0）和（3，0），

故④错误；

综上，正确的有①②③，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是注意表格数据的特点，结合二次函数性质作判断．

8、D

【解析】

【分析】

根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．

【详解】

由图可知，使得时

使成立的x的取值范围是或

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．

【详解】

解：∵，

∴对称轴为直线x＝b，开口向下，

在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1不在对称轴左侧，

∴b≤1，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．

【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，

设抛物线的解析式为y=ax2，

∵O点到水面AB的距离为4米，

∴A、B点的纵坐标为-4，

∵水面AB宽为20米，

∴A（-10，-4），B（10，-4），

将A代入y=ax2，

-4=100a，

∴，

∴，

∵水位上升3米就达到警戒水位CD，

∴C点的纵坐标为-1，

∴

∴x=±5，

∴CD=10，

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 则是的两根，且 再利用两个交点之间的距离为4列方程，再解方程可得答案.

【详解】

解：设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为

是的两根，且

两个交点之间的距离为4，

解得： 经检验：是原方程的根且符合题意，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，两个交点之间的距离，掌握“求解二次函数与轴的交点坐标”是解本题的关键.

2、##

【解析】

【分析】

将已知式子化成，分和两种情况，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的不等式，然后利用二次函数的性质求出的取值范围，从而可得的最大值与最小值，由此即可得出答案．

【详解】

解：由得：，

①当时，；

②当时，则关于的方程根的判别式大于或等于0，

即，

整理得：，

解方程得：，

则对于二次函数，当时，的取值范围为，且，

综上，的取值范围为，

所以的最大值为3，最小值为，

所以的最大值与最小值之和为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识，将求最值问题转化为一元二次方程问题是解题关键．

3、

【解析】

【分析】

根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），

其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到的抛物线解析式为

即

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

4、

【解析】

【分析】

根据的意义直接解答即可．

【详解】

解：二次函数的图象的顶点坐标是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：（a≠0）的顶点坐标为（0，c）．

5、3或-5##-5或3

【解析】

【分析】

将A点坐标代入得，解得，原方程变为，因式分解法解方程即可．

【详解】

解：将A点坐标代入得

解得

∴原方程变为

∴

∴或

解得的值为3或

故答案为：3或．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键在于理解二次函数与一元二次方程的关系．

三、解答题

1、 (1)

(2)当x为20时w最大，最大值是2400元

【解析】

【分析】

（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；

（2）根据题意得到w=，根据二次函数的性质得到当x＜30时，w随x的增大而增大，于是得到结论．

(1)

解：根据题意得，；

(2)

根据题意得，w==，

∵a=＜0，

∴当x＜30时，w随x的增大而增大，

∵40+x≤60，x≤20，

∴当x=20时，w最大=2400，

答：当x为20时w最大，最大值是2400元．

【点睛】

本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．

2、 (1)

(2)①；②，当时，；当时，；③

【解析】

【分析】

（1）先确定A（-3，0），B（0，3），分别代入解析式，求得b，c的值即可；

（2）①利用对称轴与直线y=x+3的交点，确定点C（-1，2），代入解析式中，求的值；

②分当＜m＜1和m≥1两种情况解答即可；

③根据得b=m+1，结合前面的解答直接写出的范围即可．

(1)

∵直线分别与轴、轴交于点、，

∴A（-3，0），B（0，3），

把A（-3，0），B（0，3）分别代入解析式，得

，

解得

∴抛物线的解析式为：．

(2)

①∵的对称轴为直线，直线AB的解析式为y=x+3，

∴点、，

∵点和点重合，

∴，

解得：，

∵，

∴．

②∵点、，且点D在点C的下方，

∴CD=2-（）=；

∵点D在点C的下方，

∴，

当x=1时，，

∵轴，

∴点F的纵坐标为，

∴=即=0，

解得x== -1±|m-1|，

当时，x=-1+1-m=-m，此时，交点D不满足在C的下方，舍去；

或x=-1-1+m=m-2，

∴EF=；

当m≥1时，x=-1+m-1=m-2，此时，交点D不满足在C的下方，舍去；

或x=-1-m+1=-m，

∴EF=．

③∵，

∴=，

∴=，

∴b=m+1，b=-（m+1）舍去，

∴m≥1．

【点睛】

本题考查了待定系数法确定解析式，一元二次方程的解法，抛物线的平移，熟练掌握抛物线的性质，正确解方程是解题的关键．

3、 (1)，，

(2)

【解析】

【分析】

（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标；

（2）先证明，利用相似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．

(1)

令 则，

∴，，

∴对称轴为直线，

∴．

(2)

在中，

，

∴∠ODC=∠CBD，

，

，．

．

∵轴，轴，

∴．

∵，

∴．

∴．

在中，，

∴，即．（负根舍去）

∵点与点关于对称轴对称，

∴．

∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．

∴的周长的最小值为，

∴的长最小值为，即．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据对称性求最值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

4、 (1)

(2)3

【解析】

【分析】

（1）把点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的表达式；

（2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可．

(1)

解：把点的坐标代入抛物线，

得，

解得，

所以抛物线的表达式：；

(2)

解：抛物线的表达式，

令时，，

解得：，

，

当，，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．

5、 (1)对称轴x＝2；交点坐标为（1，0）和（3，0）

(2)10

(3)4

【解析】

【分析】

（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；

（2）构建方程求出a的值，再求出△OPQ的面积即可解决问题；

（3）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，可得t+1≤5且t≥﹣1，由此即可解决问题．

(1)

解：∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，

∴对称轴x＝2；

令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，

解得x＝1或3，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）；

(2)

解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，

∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），

∴4a﹣8a+3a＝2，

∴a＝﹣2，

∴y＝﹣2x2+8x﹣6，

∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．

∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，

∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．

∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．

∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；

(3)

解：∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，

∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，

∴t+1≤5且t≥﹣1，

∴﹣1≤t≤4，

∴t的最大值为4．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数的最值问题等知识，解题的关键是读懂题意、灵活运用所学知识解决问题．