初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试精品测试题

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，与相切于点，连接交于点，点为优弧上一点，连接，，若，的半径，则的长为（       ）

A．4 B． C． D．1

2、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定

3、已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（       ）

A． B． C． D．

5、一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

6、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．

7、下列四个命题中，真命题是（       ）

A．相等的圆心角所对的两条弦相等 B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点

C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．等弧就是长度相等的弧

8、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（       ）．

A．20° B．25° C．30° D．40°

9、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）

A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定

10、如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（        ）

A．10 B．11 C．12 D．13

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点．若的半径为，，，则阴影部分的面积为________．

2、Rt的两条直角边分别是一元二次方程的两根，则的外接圆半径为_____．

3、如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连结OA、OB．若OA＝5，AB＝6，则tan∠AOB＝______．

4、如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1=_______度．

5、如图，在矩形中，是边上的点，经过，，三点的与相切于点．若，，则的半径是__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求证：；

(3)若，△ACD的面积为12，求PB的长．

2、如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求半径的长．

3、如图，是的直径，是圆上两点，且有，连结，作的延长线于点．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求阴影部分的面积．（结果保留）

4、如图，在中，，平分交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．

5、如图，在中，，平分，与交于点，，垂足为，与交于点，经过，，三点的与交于点．

(1)求证是的切线；

(2)若，，求的半径．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

连接OB，根据切线性质得∠ABO=90°，再根据圆周角定理求得∠AOB=60°，进而求得∠A=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．

【详解】

解：连接OB，

∵AB与相切于点B，

∴∠ABO=90°，

∵∠BDC=30°，

∴∠AOB=2∠BDC=60°，

在Rt△ABO中，∠A=90°－60°=30°，OB=OC=2，

∴OA=2OB=4，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的锐角互余、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

2、A

【解析】

【分析】

根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．

【详解】

解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，

∴d＞r，

∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．

3、D

【解析】

【分析】

根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．

【详解】

解：∵点A为⊙O外的一点，且⊙O的半径为3，

∴线段OA的长度＞3．

故选：D．

【点睛】

此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．

4、B

【解析】

【分析】

如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出∠AOB=60°△AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OG⊥AB，可得OG平分∠AOB，得出∠AOC=，根据锐角三角函数求解即可．

【详解】

解：如图连结OA，OB，OG，

∵六边形ABCDEF为圆外切正六边形，

∴∠AOB=360°÷6=60°，△AOB为等边三角形，

∵点G为切点，

∴OG⊥AB，

∴OG平分∠AOB，

∴∠AOC=，

∴cos30°=，

∴．

故选择B．

【点睛】

本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键．

5、C

【解析】

【分析】

如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．

【详解】

解：如图，由题意得：，

是等边三角形，

，

则这个正多边形的边数为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．

6、A

【解析】

【分析】

连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．

【详解】

解：连结OC，

∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，

∴DC=AC，OC平分∠ACD，

∵，，

∴∠ACD=90°-∠B=60°，

∴∠OCD=∠OCA==30°，

在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，

在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，

∴OD=OA=1，DC=AC=，

∴，，

∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，

∴，

S阴影=．

故选择A．

【点睛】

本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．

7、B

【解析】

【分析】

利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，是真命题，故本选项符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】

本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识，难度不大．

8、B

【解析】

【分析】

连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．

【详解】

解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∵∠AOP=∠B+∠OAB，

∴∠B=∠AOP=×50°=25°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

9、B

【解析】

【分析】

根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【详解】

解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，

即点A到圆心O的距离小于圆的半径，

∴点A在⊙O内．

故选：B．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．

10、A

【解析】

【分析】

作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．

【详解】

解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，

∴∠AOB=2∠ADB=36°，

∴这个正多边形的边数为=10．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据题意先得出△AOE≌△DOE,进而计算出∠AOD=2∠B=100°，利用四边形ODEA的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．

【详解】

解：连接EO、DO，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，

∴OE∥BC，

∴∠AOE=∠B，∠EOD=∠BDO，

∵OB=OD，

∴∠B=∠BDO，

∴∠AOE =∠EOD，

在△AOE和△DOE中

，

∴△AOE≌△DOE，

∵点E是AC的中点，

∴AE=AC=2.4，

∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，

∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4-=.

故答案为：.

【点睛】

本题考查切线的性质以及圆周角定理和扇形的面积公式和全等三角形判定性质，注意掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

2、2.5##

【解析】

【分析】

根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．

【详解】

解：，

，

解得，

Rt的两条直角边分别为3，4，

斜边长为，

直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，

的外接圆半径为．

【点睛】

本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键．

3、

【解析】

【分析】

由题意易得∠OAB=90°，然后根据三角函数可进行求解．

【详解】

解：∵AB是⊙O的切线，

∴∠OAB=90°，

在Rt△OAB中，OA＝5，AB＝6，

∴，

故答案为．

【点睛】

本题主要考查三角函数与切线的性质，熟练掌握三角函数与切线的性质是解题的关键．

4、72

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和定理及正多边形的性质即可求得结果．

【详解】

正五边形的每个内角为

∵多边形为正五边形，即AB=BC=CD，如图

∴△ABC、△BCD均为等腰三角形，且∠ABC=∠BCD=108°

∴

∴∠1=∠BCA+∠CBD=72°

故答案为：72

【点睛】

本题考查了正多边形的性质及多边形的内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形性质等知识，掌握正多边形的性质及多边形内角和定理是本题的关键．

5、##

【解析】

【分析】

连接EO，并延长交圆于点G，在Rt△DEF中求出EF的值，再证明△DEF∽△FGE，然后根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】

解：连接EO，并延长交圆于点G，

∵四边形是矩形，

∴CD=，∠D=90°，

∵与相切于点，

∴OE⊥CD，再结合矩形的性质可得：

∴DE=CE=3．

∵，

∴EF=．

∵与相切于点，

∴∠GED=90°．

∵GE是直径，

∴∠GFE=90°，

∴∠DEF+∠GEF=90°，∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠DEF=∠EGF．

∵∠D=∠∠GFE=90°，

∴△DEF∽△FGE，

∴，

∴，

∴GE=，

∴的半径是，

故答案为；．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）连接，根据直径所对的圆周角等于90°可得，根据等边对等角可得，进而证明，即可求得，从而证明PC是⊙O的切线；

（2）由（1）可得，进而证明，可得，根据等角对等边证明，即可得证；

（3）作于点F，勾股定求得，证明，进而求得的长，设，根据△ACD的面积为12，求得，勾股定理求得，由可得，即可求得的长．

(1)

连接OC，如图，

∵AB是的直径，

，

即．

，，

，

.

，

.

．

又是半径，

是⊙O的切线．

(2)

由（1），得．

，

.

，

．

平分，

.

又，

，即．

，

.

(3)

作于点F，如图，

．

平分，，

．

，由勾股定理得：．

，，

，

.

，

.

设，

，

.

解得或（舍去）．

．

Rt△ACF中，由勾股定理得：，

，．

由（2）得，

.

，，

，

，

【点睛】

本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

2、 (1)证明见解析

(2)⊙O半径的长为

【解析】

【分析】

（1）根据角度的数量关系，可得，即，进而可证是的切线；

（2）由题意知，，由可得的值，由，知，，得，在中，，求解即可．

(1)

证明：∵是的直径

∴

∴

∵

∴

∴，

∴

∴是的切线；

(2)

解：∵，

∴

∵

∴

∵，

∴

∴，

∵

∴

∴，

在中，，即

∴

∴半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的判定，勾股定理，正切值．解题的关键在于对知识的灵活运用．

3、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，只要求出∠ODE＝90°即可解答；

（2）连接BD，利用Rt△ADB的面积加上弓形面积即可求出阴影部分的面积．

(1)

证明：连接OD，

∵，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴AE∥OD，

∴∠E+∠ODE＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠E＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，

∵OD是圆O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

(2)

连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ADE＝60°，∠E＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°，

∴∠DAB＝∠CAD＝30°，

∴AB＝2BD，

∵，

∴

∴BD＝2，BA＝4，

∴OD＝OB＝2，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠DOB＝60°，

∴△ADB的面积＝AD•DB

＝×2×2

＝2，

∵OA＝OB，

∴△DOB的面积＝△ADB的面积＝，

∴阴影部分的面积为：

△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积

＝2﹣

＝，

∴阴影部分的面积为：．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形的面积公式，勾股定理，含30°角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形，添加适当的辅助线是解题的关键．

4、 (1)BC与⊙O相切，理由见详解

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意先证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）由题意直接根据三角形和扇形的面积公式进行计算即可得到结论．

(1)

解： BC与⊙O相切．

证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切；

(2)

∵，∠ODB=90°，，

∴，

在Rt△OBD中，

由勾股定理得：，

∴S△OBD= OD•BD= ，S扇形ODF= ，

∴阴影部分的面积=．

【点睛】

本题考查切线的判定和扇形面积以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解答本题的关键．

5、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证，从而，得到，根据切线的判定方法可证是的切线；

（2）证明，利用相似三角形的性质可求的半径．

(1)

证明：连接，

∵，

∴，

∴是直径，是的中点．

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

又∵经过半径的外端，

∴是的切线．

(2)

解：∵，

∴，

在与中，

，，

∴．

∴，

在中，，，

∴.

设半径为，则，，

即，

∴．

∴的半径为．

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法是解（1）的关键，掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键．