初中冀教版第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀综合训练题

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系专项训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若O是ABC的内心，当时，（       ）

A．130° B．160° C．100° D．110°

2、如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（       ）

A．54° B．36° C．32° D．27°

3、在ABC中，∠B＝45°，AB＝6；①AC=4；②AC＝8；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC的长唯一．可以选取的是（       ）

A．① B．② C．③ D．①或③

4、下面四个结论正确的是（       ）

A．度数相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆

C．在同圆或等圆中，圆心角是圆周角的2倍 D．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（       ）

A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）

6、的半径为5 ， 若直线与该圆相交， 则圆心到直线的距离可能是 （       ）

A．3 B．5 C．6 D．10

7、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．无法确定

8、下列四个命题中，真命题是（       ）

A．相等的圆心角所对的两条弦相等 B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点

C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．等弧就是长度相等的弧

9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（       ）

A．4.8 B．5 C．4 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，∠P＝30°，若⊙O的半径为2，则OP的长为 _____．

2、如图，五边形是⊙的内接正五边形，则的度数是____．

3、⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是____________．

4、如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则是______度．

5、如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：

①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，是的切线，点在上，与相交于，是的直径，连接，若．

(1)求证：平分；

(2)当，时，求的半径长．

2、如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；

(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．

3、如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求证：；

(3)若，△ACD的面积为12，求PB的长．

4、如图，在中，，平分交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．

5、如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．

(1)求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

(2)在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

由三角形内角和以及内心定义计算即可

【详解】

∵

∴

又∵O是ABC的内心

∴OB、OC为角平分线，

∴

∴180°=180°-50°=130°

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2、D

【解析】

【分析】

由切线的性质得出∠OAB=90°，由直角三角形的性质得出∠AOB=90°-∠ABO=54°，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠OAD，再由三角形的外角性质即可得出答案．

【详解】

解：∵AB为⊙O的切线，

∴∠OAB＝90°，

∵∠ABO＝36°，

∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，

∵OA＝OD，

∴∠ADC＝∠OAD，

∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，

∴∠ADC＝∠AOB＝27°；

故选：D．

【点睛】

本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

作AD⊥BC于D，求出AD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．

【详解】

解：作AD⊥BC于D，

∵∠B＝45°，AB＝6；

∴，

设三角形ABC1的外接圆为O，连接OA、OC1，

∵∠B＝45°，

∴∠O＝90°，

∵外接圆半径为4，

∴；

∵

∴以点A为圆心，AC为半径画圆，如图所示，当AC=4时，圆A与射线BD没有交点；

当AC=8时，圆A与射线BD只有一个交点；当AC= 时，圆A与射线BD有两个交点；

故选：B．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质和射线与圆的交点，解题关键是求出AC长和点A到BC的距离．

4、D

【解析】

【分析】

根据圆的有关概念、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质解得即可．

【详解】

解：A、在同圆或等圆中，能完全重合的弧才是等弧，故错误；

B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；

C、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，故错误；

D、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，必须掌握．

5、A

【解析】

【分析】

首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．

【详解】

解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，

∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．

故选：A

【点睛】

此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．

6、A

【解析】

【分析】

根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断．

【详解】

解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，

∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，

故选：A．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

7、A

【解析】

【分析】

圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．

【详解】

解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6，

∴，

∴直线l与相离，

∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，

故选A．

【点睛】

本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．

8、B

【解析】

【分析】

利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，是真命题，故本选项符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】

本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识，难度不大．

9、B

【解析】

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．

【详解】

解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，

再设⊙O的半径为x．

∵AB切⊙O于E，

∴EF⊥AB，

∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，

∴∠OFD=90°，

在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，

∴（8-x）2+42= x2，

∴x=5，

∴⊙O的半径为5．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

二、填空题

1、4

【解析】

【分析】

连接OB，利用切线性质，判定三角形POB是直角三角形，利用直角三角形的性质，确定PO的长度即可．

【详解】

如图，连接OB，

∵PB与⊙O相切于点B，

∴∠PBO＝90°，

∵∠P＝30°，OB=2，

∴PO=4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了切线性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

根据圆内接正五边形的定义求出∠COD，利用三角形内角和求出答案．

【详解】

解：∵五边形是⊙的内接正五边形，

∴∠COD=，

∵OC=OD，

∴=，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了圆内接正五边形的性质，三角形内角和定理，同圆的半径相等的性质，熟记圆内接正五边形的性质是解题的关键．

3、相离

【解析】

【分析】

根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．

【详解】

解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d＝5cm，

∴d＞r，

∴直线l与⊙O的位置关系是相离，

故答案为：相离．

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．

4、

5、②③④

【解析】

【分析】

根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．

【详解】

∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，

∴∠CMH=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CMH=∠CDH=90°，

∵CM=CD，CH=CH，

∴△CMH≌△CDH，

∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，

同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，

∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，

故①错误；

∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，

∴2∠HCM+2∠GCM=90°，

∴∠HCM+∠GCM=45°，

即∠GCH＝45°，

故②正确；

∵△CMH≌△CDH，BD是正方形的对角线，

∴∠GHF=∠DHF，∠GCH=∠HDF=45°，

∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC

=∠DHF +∠HDF+∠HFD

=180°，

根据对角互补的四边形内接于圆，

∴H，F，E，G四点在同一个圆上，

故③正确；

∵正方形ABCD的边长为1，

∴

=1

=，∠GAH=90°，AC=

取GH的中点P，连接PA，

∴GH=2PA，

∴=，

∴当PA取最小值时，有最大值，

连接PC，AC，

则PA+PC≥AC，

∴PA≥AC- PC，

∴当PC最大时，PA最小，

∵直径是圆中最大的弦，

∴PC=1时，PA最小，

∴当A，P，C三点共线时，且PC最大时，PA最小，

∴PA=-1，

∴最大值为：1-（-1）=2-，

∴四边形CGAH面积的最大值为2，

∴④正确；

故答案为: ②③④．

【点睛】

本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)的半径长为．

【解析】

【分析】

（1）根据切线的性质，可得，由平行线的性质，等边对等角，等量代换即可得，进而得证；

（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理求得，证明列出比例式，代入数值求解可得，进而求得半径

(1)

证明：如图，连接，

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即平分；

(2)

解：如图，连接，

在中，，，

由勾股定理得：，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴的半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的相关知识以及相似三角形的是解题的关键．

2、 (1)相切，理由见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接OD，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE＝90°，而D是圆上的一点；故可得直线DE与⊙O相切；

（2）连接BD，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB＝5，即可求解．

(1)

解：所在直线与相切．

理由：连接．

∵，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵是半径，

∴所在直线与相切．

(2)

解：连接．

∵是的直径，

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∵，，，

∴．

∴．

∴的半径为．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

3、 (1)见解析

(2)见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）连接，根据直径所对的圆周角等于90°可得，根据等边对等角可得，进而证明，即可求得，从而证明PC是⊙O的切线；

（2）由（1）可得，进而证明，可得，根据等角对等边证明，即可得证；

（3）作于点F，勾股定求得，证明，进而求得的长，设，根据△ACD的面积为12，求得，勾股定理求得，由可得，即可求得的长．

(1)

连接OC，如图，

∵AB是的直径，

，

即．

，，

，

.

，

.

．

又是半径，

是⊙O的切线．

(2)

由（1），得．

，

.

，

．

平分，

.

又，

，即．

，

.

(3)

作于点F，如图，

．

平分，，

．

，由勾股定理得：．

，，

，

.

，

.

设，

，

.

解得或（舍去）．

．

Rt△ACF中，由勾股定理得：，

，．

由（2）得，

.

，，

，

，

【点睛】

本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

4、 (1)BC与⊙O相切，理由见详解

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意先证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）由题意直接根据三角形和扇形的面积公式进行计算即可得到结论．

(1)

解： BC与⊙O相切．

证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切；

(2)

∵，∠ODB=90°，，

∴，

在Rt△OBD中，

由勾股定理得：，

∴S△OBD= OD•BD= ，S扇形ODF= ，

∴阴影部分的面积=．

【点睛】

本题考查切线的判定和扇形面积以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解答本题的关键．

5、 (1)见解析；

(2)见解析，的半径为

【解析】

【分析】

（1）过点B作BP的垂线，作∠APB的平分线，二线的交点就是圆心；

（2）根据切线的性质，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可．

(1)

如图所示，点O即为所求

(2)

如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，

∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，

∵AC=4，

∴PC==5，BC=5-3=2，

设圆的半径为x，则OC=4-x，

∴，

解得x=，

故圆的半径为．

【点睛】

本题考查了垂线的画法，角的平分线的画法，切线的性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程的解法，熟练掌握切线的性质，切线长定理和勾股定理是解题的关键．