初中冀教版第二十二章 四边形综合与测试精品巩固练习

八年级数学下册第二十二章四边形章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下面性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）

A．对角互补 B．邻角互补

C．对角相等 D．对角线互相平分

2、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（       ）

A．14 B．16 C．18 D．12

3、菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为（　　）

A．20 B．24 C．30 D．48

4、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在∠BAC内部．若，且，则∠DAE的度数为（       ）

A．12° B．24° C．39° D．45°

6、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5

7、下列命题是真命题的有（　　）个．

①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．

A．1 B．2 C．3 D．4

8、如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（       ）

A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小

9、如图，在正方形ABCD中，，点E在对角线AC上，若，则CDE的面积为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、如图，已知长方形，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点不动时，那么下列结论成立的是（     ）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少

C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______

2、一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数是______．

3、已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是________边形．

4、平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别________；平行四边形的两组对角分别________；平行四边形的对角线________．

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．

(1)尺规作图：作，使，点F是的边与线段AB的交点．（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)探究：AE，DF的位置关系和数量关系，并说明理由．

2、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（1）计算AC2+BC2的值等于_____；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．

3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD//BC

(1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)连接DF，证明四边形ABFD为菱形．

4、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；

(2)在（1）的条件下确定点C后，再画出矩形BCDE，D，E都在小正方形顶点上，且矩形BCDE的周长为16，直接写出EA的长为　   　．

5、已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE．

(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形

(2)如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

(3)如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．

【详解】

解：A、平行四边形对角不一定互补，故符合题意；

B、平行四边形邻角互补正确，故不符合题意；

C、平行四边形对角相等正确，故不符合题意．

D、平行四边形的对角线互相平分正确，故不符合题意；

故选A．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：，结合图形得出的周长为，再由中位线的性质得出，在中，利用勾股定理确定，即可得出结论．

【详解】

解：在正方形ABCD中，，，，

∵F为DE的中点，O为BD的中点，

∴OF为的中位线且CF为斜边上的中线，

∴，

∴的周长为，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，，，，

∴，

∴的周长为，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．

【详解】

解：如图，当BD＝6时，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，

∵AB＝5，

∴AO＝=4，

∴AC＝8，

∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．

4、D

【解析】

【分析】

如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．

【详解】

解：如图，过点作于点，连接，

由题意知

∴四边形为平行四边形

∵

∴四边形为矩形

∴

∵

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

①∵，

∴为等腰直角三角形

∴

，

∴

∴四边形是平行四边形

∴

∴

故①正确；

②∵

∴四边形为矩形

∴四边形的周长

故②正确；

③四边形为矩形

∵在和中

∵

∴

∴

∴

故③正确；

④∵

当最小时，最小

∴当时，即时，的最小值等于

故④正确；

⑤在和中，，

∴

故⑤正确；

⑥如图1，延长与交于点

∵在和中

∵

∴

∴

∵

∴

∴

故⑥正确；

综上，①②③④⑤⑥正确，

故选：．

【点睛】

本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．

5、C

【解析】

【分析】

由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，根据角的和差倍分得到，整理得 ，最后根据解题．

【详解】

解：折叠，

是矩形

故选：C．

【点睛】

本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

6、A

【解析】

【分析】

已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．

【详解】

是的中位线，，

，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．

【详解】

解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；

②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；

③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；

④四条边都相等的四边形是菱形，正确；

⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．

故选：B．

【点睛】

此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．

8、A

【解析】

【分析】

根据题意，作交的延长线于，证明是的角平分线即可解决问题．

【详解】

解：作交的延长线于，

 ∵四边形 是正方形，

 ∴，

，

 ∵，

 ∴，，

 ∴，

 ∴，

 ∴，

 ∵四边形是平行四边形，

 ∴，，

 ∵， ，

 ∴，

 ∵，．

 ∴，

 ∴，，

 ∴，

 ∴，

 ∵，

∴，

 ∴是的角平分线，

 ∴点的运动轨迹是的角平分线，

∵，

由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小，

故选：A ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

9、A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．

【详解】

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAC=DAC，

∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE，

∴=5，同理△CBE≌△CDE，

∴，

∵，

∴CDE的面积为： =3，

故选A．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答．

10、C

【解析】

【分析】

因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．

【详解】

解：连接．

、分别是、的中点，

为的中位线，

，为定值．

线段的长不改变．

故选：．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．

二、填空题

1、或

【解析】

【分析】

分两种情况分析：当点E在BC下方时记点E为点，点E在BC上方时记点E为点，连接，，根据垂直平分线的性质得，，由正方形的性质得，，由旋转得，，故，是等边三角形，，是等腰三角形，由等边三角形和等腰三角形的求角即可．

【详解】

如图，当点E在BC下方时记点E为点，连接，

∵点落在边AD的垂直平分线，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∵BC绕点C旋转得，

∴，

∴是等边三角形，是等腰三角形，

∴，，

∴，

∴，

当点E在BC上方时记点E为点，连接，

∵点落在边AD的垂直平分线，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∵BC绕点C旋转得，

∴，

∴是等边三角形，是等腰三角形，

∴，，

∴，

∴．

故答案为：或．

【点睛】

本题考查正方形的性质、垂直平分线的性质、旋转的性质，以及等边三角形与等腰三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．

2、6

【解析】

【分析】

先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数，即可得到边数．

【详解】

∵多边形的每一个内角都等于120°，

∴多边形的每一个外角都等于180°-120°=60°，

∴边数n=360°÷60°=6．

故答案为：6．

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．

3、八##8

【解析】

【分析】

n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【详解】

解：根据n边形的内角和公式，得

（n-2）•180=1080，

解得n=8．

∴这个多边形的边数是8．

故答案为：八．

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

4、     相等     相等     互相平分

【解析】

略

5、（0，-5）

【解析】

【分析】

在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．

【详解】

解：∵A（12，13），

∴OD=12，AD=13，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=AD=13，

在Rt△ODC中，，

∴C（0，-5）．

故答案为：（0，-5）

【点睛】

本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

三、解答题

1、 (1)见解析；

(2)，，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作出即可；

（2）证明即可得结论．

(1)

如图，即为所求．

(2)

，．

∵四边形ABCD是正方形，

∴，．

在和中，

∴（AAS），

∴．

∵，．

∴，即．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

2、     11     见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．

【详解】

解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11；

故答案为：11；

（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；

延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，

【点睛】

本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．

3、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；

（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE=EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．

(1)

（1）如图：EF即为所求作

(2)

证明：如图，连接DF，

∵AD//BC，

∴∠ADE=∠EBF，

∵AF垂直平分BD，

∴BE=DE．

在△ADE和△FBE中，

，

∴△ADE≌△FBE（ASA），

∴AE=EF，

∴BD与AF互相垂直且平分，

∴四边形ABFD为菱形．

【点睛】

此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．

4、 (1)见解析

(2)画图见解析，

【解析】

【分析】

（1）作出腰为5且∠ABC是钝角的等腰三角形ABC即可；

（2）作出边长分别为5，3的矩形ABDE即可．

(1)

解：如图，AB==BC，∠ABC>90°，所以△ABC即为所求；

(2)

解：如图，矩形BCDE即为所求．AE= ．

故答案为：．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

5、 (1)①见解析；②见解析

(2)是，见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）①根据DE∥AB，得出∠EDC＝∠ABM，根据CE∥AM，∠ECD＝∠ADB，根据AM是△ABC的中线，且D与M重合，得出BD＝DC，再证△ABD≌△EDC（ASA）即可；

②由①得△ABD≌△EDC，得出AB＝ED，根据AB∥ED，即可得出结论．

（2）如图，设延长BM交EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L，先证四边形MDCL为平行四边形，得出ML=DC=BD，可证△BMD≌△MFL（AAS），再证△ABM≌△EMF（ASA），可证四边形ABME是平行四边形；

（3）过点D作DG∥BN交AC于点G，根据M为AD的中点，DG∥MN，得出MN为三角形中位线MN＝DG，根据D为BC的中点，得出DG＝BN，可得MN＝BN，可求即可．

(1)

证明：①∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠ABM，

∵CE∥AM，

∴∠ECD＝∠ADB，

∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，

∴BD＝DC，

在△ABD与△EDC中，

，

∴△ABD≌△EDC（ASA），

即△ABM≌△EMC；

②由①得△ABD≌△EDC，

∴AB＝ED，

∵AB∥ED，

∴四边形ABDE是平行四边形；

(2)

成立．理由如下：

如图，设延长BM交EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L，

∵AD∥EC，ML∥DC，

∴四边形MDCL为平行四边形，

∴ML=DC=BD，

∵ML∥DC，

∴∠FML=∠MBD，  

∵AD∥EC，

∴∠BMD=∠MFL，∠AMB=∠EFM,

在△BMD和△MFL中

，

∴△BMD≌△MFL（AAS），

∴BM=MF ,

∵AB∥ME，

∴∠ABM=∠EMF，

在△ABM和△EMF中，

∴△ABM≌△EMF（ASA），

∴AB＝EM，

∵AB∥EM，

∴四边形ABME是平行四边形；

(3)

解：过点D作DG∥BN交AC于点G，

∵M为AD的中点，DG∥MN，

∴MN＝DG，

∵D为BC的中点，

∴DG＝BN，

∴MN＝BN，

∴，

由（2）知四边形ABME为平行四边形，

∴BM＝AE，

∴．

【点睛】

本题考查三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质，掌握三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质是解题关键．