数学第二十二章 四边形综合与测试精品课堂检测

八年级数学下册第二十二章四边形同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个多边形从一个顶点引出的对角线条数是4条，这个多边形的边数是（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2、如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（       ）

A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)

3、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．12

4、下列关于的叙述，正确的是（       ）

A．若，则是矩形 B．若，则是正方形

C．若，则是菱形 D．若，则是正方形

5、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（　　）

A．a B．a C．a D．a

7、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（       ）

A．1 B． C． D．2

8、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（     ）

A．测量三个角是否都是直角 B．测量对角线是否互相平分

C．测量两组对边是否分别相等 D．测量一组对角是否是直角

9、如图，在中，，于点D，F在BC上且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（       ）

A．1 B．4 C．2 D．6

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平行四边形中，是对角线，，点是的中点，平分，于点，连接．已知，，则的长为_______．

2、如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为_________．

3、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是_______．

4、已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝________．

5、如图，，D为外一点，且交的延长线于E点，若，则_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．

2、如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，，AD＝6，求四边形EFGH的周长．

3、如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A     180°．（横线上填＜、＝或＞）

(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P=     ．

(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．

4、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；

(2)若△是以为底的等腰三角形，

①直接写出的值；

②若直线与△有公共点，求的取值范围．

(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．

5、已知正多边形的内角和比外角和大720°，求该正多边形所有对角线的条数．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据从n边形的一个顶点引出对角线的条数为(n-3)条，可得答案．

【详解】

解：∵一个n多边形从某个顶点可引出的对角线条数为(n-3)条，

而题目中从一个顶点引出4条对角线，

∴n-3=4，得到n=7，

∴这个多边形的边数是7．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，从一个顶点引对角线，注意相邻的两个顶点不能引对角线．

2、B

【解析】

【分析】

分别过点和点作轴于点，作轴于点，根据菱形的性质以及中位线的性质求得点的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标

【详解】

如图，分别过点和点作轴于点，作轴于点，

∴，

∵四边形为菱形，

∴点为的中点，

∴点为的中点，

∴，，

∵，

∴；

由题意知菱形绕点逆时针旋转度数为：，

∴菱形绕点逆时针旋转周，

∴点绕点逆时针旋转周，

∵，

∴旋转60秒时点的坐标为．

故选B

【点睛】

根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．

【详解】

解：四边形为菱形，

，，，

，

,

∴,

∴,

∴

故选：．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．

4、A

【解析】

【分析】

由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．

【详解】

解：中，，

四边形是矩形，选项符合题意；

中，，

四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；

中，，

四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题意；

中，，

四边形是菱形，选项不符合题意；

故选：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．

5、A

【解析】

【分析】

利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出 S▱AEFD，判断④．

【详解】

解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC，故①正确；

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝150°，

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴BD＝BA，BF＝BC，

∴∠DBF＝∠ABC，

在△ABC与△DBF中，

，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC＝DF＝AE＝4，

同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），

∴AB＝EF＝AD＝3，

∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；

∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；

过A作AG⊥DF于G，如图所示：

则∠AGD＝90°，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，

∴AG＝AD＝，

∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6；故④错误；

∴错误的个数是1个，

故选：A．

．

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．

【详解】

解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，

∴的周长的周长．

∵以各边的中点为顶点作，

∴的周长的周长，

…，

∴的周长

故选：A．

【点睛】

本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠A=90°，

∴∠EFD=∠BEF=60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，

∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，

∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，

∴B'E=2AE，

设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，

∴2（3-x）=x，

解得x=2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定方法解题．

【详解】

解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，

选项A符合题意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，

选项B不符合题意，

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

选项C不符合题意；

D、一组对角是直角的四边形不是矩形，

选项D不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

9、B

【解析】

【分析】

先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．

【详解】

解：，

，

，

（等腰三角形的三线合一），

即点是的中点，

为的中点，

是的中位线，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．

10、C

【解析】

略

二、填空题

1、##3.5##

【解析】

【分析】

延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证△AFH≌△AFC，可得AC=AH=12，HF=CF，由三角形中位线定理可求解．

【详解】

解：如图，延长、交于点，

四边形是平行四边形，，，

，

平分，，

在和中，

，

，

，，

，

点是的中点，，

∴EF是△CBH的中位线，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

2、6

【解析】

【分析】

由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE=2AF=12，再利用三角形中位线定理可求解．

【详解】

解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，

∵F为BE的中点，AF=6，

∴BE=2AF=12．

∵G，H分别为BC，EC的中点，

∴GH=BE=6，

故答案为6．

【点睛】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解BE的长是解题的关键．再根据中位线定理求出GH．

3、

【解析】

【分析】

要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．

【详解】

解：如图，连接AE，PA，

∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，

∴点C关于BD的对称点为点A，

∴PE+PC=PE+AP，

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，

∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，

∴BE=2，

∴AE=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．

4、5

【解析】

略

5、2

【解析】

【分析】

过点D作DM⊥CB于M，证出∠DAE=∠DBM，判定△ADE≌△BDM，得到DM=DE=3，证明四边形CEDM是矩形，得到CE=DM=3，由AE=1，求出BC=AC=2．

【详解】

解：∵DE⊥AC，

∴∠E=∠C=90°，

∴，

过点D作DM⊥CB于M，则∠M=90°=∠E，

∵AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∴∠DAE=∠DBM，

∴△ADE≌△BDM，

∴DM=DE=3，

∵∠E=∠C=∠M =90°，

∴四边形CEDM是矩形，

∴CE=DM=3，

∵AE=1，

∴BC=AC=2，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助线证明△ADE≌△BDM是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．

(1)

如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

(2)

如图，连接

四边形是平行四边形

，

，

则

是的垂直平分线

又

在与中，

【点睛】

本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

2、 (1)见解析

(2)12

【解析】

【分析】

（1）利用三角形的中位线定理得出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，即可得出结论；

（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得，由（1）得出四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，即可得出结果．

(1)

证明：∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．

∴EH＝FG＝AD，BC，

∴四边形EFGH是平行四边形；

(2)

∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，

∴BC＝2CD＝4．

由（1）得：四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，

又∵AD＝6，

∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝6+8＝12．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．

3、 (1)＝

(2)∠P＝90°－∠A

(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析

【解析】

【分析】

（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；

（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−∠A；

（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90°−∠1，∠4=∠FCB=90°−∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．

(1)

∠DBC+∠ECB-∠A=180°，

理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，

∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，

∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，

故答案为：=；

(2)

∠P=90°-∠A，

理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，

∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，

∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB），

∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，

∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A．

故答案为：∠P=90°-∠A，

(3)

∠P=180°-∠BAD-∠CDA，

理由是：如图，

∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，

∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，

∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2，

∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2），

∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），

又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2），

∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA．

【点睛】

本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．

4、 (1)-3，3，1，3，-3，-1

(2)①-2；②

(3)或

【解析】

【分析】

（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；

（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；

②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；

（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．

(1)

解：，，

，轴．

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向左平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向右平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

对角线的中点与的中点重合，

的中点为，，

．

故答案为：，，；

(2)

解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，

，，，

、、在同一直线上，、、在同一直线上，，

是等腰三角形△的中位线，

，，

，，，

，

；

②由①得，

，．

当直线过点时，，解得：，

当直线过点时，，解得：，

的取值范围为；

(3)

解：如图，，，，

，．

连接、交于点，

四边形是平行四边形，

点、关于点对称，

，

直线与△有公共点，

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

综上，的取值范围为或．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．

5、20条

【解析】

【分析】

多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，根据正多边形内角和与外角和的差等于720°，列方程求出正多边形的边数．然后根据n边形共有条对角线，得出此正多边形的所有对角线的条数．

【详解】

解：设此正多边形为正n边形．

由题意得：，

解得n＝8，

∴此正多边形所有的对角线条数为：＝20．

答：这个正多边形的所有对角线有20条．

【点睛】

此题考查多边形的边数与对角线条数,一元一次方程，解题关键在于掌握多边形内角和公式和外角和，以及对角线条数计算公式.．